Question

18．為了測量某行星的質量和半徑，宇航員記錄了登陸艙在該行星表面做圓周運動的周期T，登陸艙在行星表面著陸后，用彈簧稱稱量一個質量為m的砝碼讀數為N．已知引力常量為G．則下列計算中正確的是（　　）

• A． 在該行星的第一宇宙速度為$\frac{NT}{2πm}$
• B． 該行星的密度為$\frac{3G}{{π{T^2}}}$
• C． 該行星的質量為$\frac{{N}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}{m}^{3}}$
• D． 該行星的半徑為$\frac{4{π}^{2}N{T}^{2}}{m}$

Answer 1

分析 在星球表面，用彈簧稱稱量一個質量為m的砝碼讀數為N，根據重力等于萬有引力列式；登陸艙在該行星表面做圓周運動，根據牛頓第二定律列式；聯立求解出質量和半徑；第一宇宙速度是星球表面軌道衛星的環繞速度．

解答 解：CD、登陸艙在該行星表面做圓周運動，萬有引力提供向心力，故：
$\frac{GMm}{R^2}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}R$   ①
在星球表面，用彈簧稱稱量一個質量為m的砝碼讀數為N，故：
N=$\frac{GMm}{R^2}$  ②
聯立解得：
M=$\frac{{{N^3}{T^4}}}{{16{π^4}G{m^3}}}$
R=$\frac{{N{T^2}}}{{4{π^2}m}}$
故C錯誤，D錯誤；
A、第一宇宙速度是星球表面軌道衛星的環繞速度，故：
$v=\frac{2πR}{T}=\frac{{2π（\frac{{N{T^2}}}{{4{π^2}m}}）}}{T}=\frac{NT}{2πm}$
故A正確；
B、行星的密度：$ρ=\frac{M}{{\frac{4}{3}π{R^3}}}=\frac{{\frac{{{N^3}{T^4}}}{{16{π^4}G{m^3}}}}}{{\frac{4}{3}π{{（\frac{{N{T^2}}}{{4{π^2}m}}）}^3}}}=\frac{3π}{{G{T^2}}}$
故B錯誤；
故選：A

點評 對于衛星問題，關鍵值記住兩點：衛星的萬有引力提供向心力；在星球表面，重力等于萬有引力．