Question

10．一同學在閱讀同步衛星的相關資料中發現一個式子：地球同步衛星到地心的距離r可由r³=$\frac{{a}^{x}{b}^{y}c}{4{π}^{2}}$求出，已知a是地球的半經，b是同步衛星繞地心運動一圈的時間，c是地球表面處的加速度．由于印刷原因，造成x、y原有的具體數值不清．請你根據學過的知識幫張華推算出x、y的確切數值．

Answer 1

分析 地球同步衛星公轉周期等于地球自轉的周期，萬有引力等于向心力．在地球表面，物體的重力等于萬有引力，由這兩個方程列式，通過數學變形分析．

解答 解：對于地球同步衛星，根據萬有引力提供向心力，得：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mω²r
由r³=$\frac{{a}^{x}{b}^{y}c}{4{π}^{2}}$的公式中包含4π²，所以此題用的公式應是：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
變形得：r³=$\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}$
在地球表面，由萬有引力等于重力，有 m′g=G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$，即有 GM=gR²（R是地球半徑）
聯立以上兩式得：r³=$\frac{{R}^{2}{T}^{2}g}{4{π}^{2}}$
由題：r³=$\frac{{a}^{x}{b}^{y}c}{4{π}^{2}}$中，a是地球的半經，b是同步衛星繞地心運動一圈的時間，c是地球表面處的加速度．則知，x=2，y=2
答：x、y的確切數值都是2．

點評 解決本題的關鍵要抓住衛星的兩個基本思路：萬有引力等于向心力，以及重力等于萬有引力，并能通過數學變形解答．