Question

如圖所示，半徑為R、圓心為O的大圓環固定在豎直平面內，兩個輕質小圓環套在大圓環上。一根輕質長繩穿過兩個小圓環，它的兩端都系上質量為m的重物，忽略小圓環的大小。
（1）將兩個小圓環固定在大圓環豎直對稱軸的兩側θ=30°的位置上(如圖)。在兩個小圓環間繩子的中點C處，掛上一個質量M=m的重物，使兩個小圓環間的繩子水平，然后無初速釋放重物M。設繩子與大、小圓環間的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距離。
（2）若不掛重物M，小圓環可以在大圓環上自由移動，且繩子與大、小圓環間及大、小圓環之間的摩擦均可以忽略，問兩個小圓環分別在哪些位置時，系統可處于平衡狀態？

Answer 1

解：(1)重物向下先做加速運動，后做減速運動，當重物速度為零時，下降的距離最大。設下降的最大距離為h，由機械能守恒定律得

解得（另解h=0舍去）
(2)系統處于平衡狀態時，兩小環的可能位置為
a．兩小環同時位于大圓環的底端
b．兩小環同時位于大圓環的頂端
c．兩小環一個位于大圓環的頂端，另一個位于大圓環的底端
d．除上述三種情況外，根據對稱性可知，系統如能平衡，則兩小圓環的位置一定關于大圓環豎直對稱軸對稱。設平衡時，兩小圓環在大圓環豎直對稱軸兩側α角的位置上(如圖所示)

對于重物m，受繩子拉力T與重力mg作用，有
對于小圓環，受到三個力的作用，水平繩子的拉力T、豎直繩子的拉力T、大圓環的支持力N。兩繩子的拉力沿大圓環切向的分力大小相等，方向相反

得，而，所以