Question

如圖所示，一質量為m的小球自光滑斜面頂端A由靜止開始自由滑下，在斜面底端B進入半徑為R的光滑圓形軌道，已知小球在B處無能量損失，式求：
（1）A點離軌道最底點至少多高時，小球就可以到達圓形軌道的最高點？
（2）此過程中，小球通過圓形軌道的最底點B時對軌道的壓力有多大？

Answer 1

分析：（1）小球恰能到達最高點C點時，只受重力作用，用牛頓第二定律可得此位置的速度，由A到C的過程中機械能守恒，列式可得A點的高度
（2）由A到B的過程機械能守恒，可求出小球在B點的速度，再對小球受力分析，由牛頓第二定律可得軌道對小球的支持力，結合牛頓第三定律可得小球對軌道的壓力．

解答：解：（1）小球恰能到達圓形軌道的最高點C點時，重力提供向心力，由牛頓第二定律有：
mg=m

v 2 c

R

解得：vc=

Rg

小球由A到C的過程中，只有重力做功，機械能守恒，則有：
mgh=

1

2

m

v

2 c

+mg?2R
解得：h=

5

2

R
（2）小球由A到B的過程中，只有重力做功，機械能守恒，則有：
mgh=

1

2

m

v

2 B

解得：vB=

5Rg

小球在B點時，受力分析，受豎直向下的重力和豎直向上的支持力，合力提供向心力，則由牛頓第二定律有：
FN-mg=m

v 2 B

R

解得：F_N=6mg
由牛頓第三定律有：

F

′ N

=FN=6mg
答：（1）A點離軌道最底點至少多為

5

2

R時，小球就可以到達圓形軌道的最高點．
（2）此過程中，小球通過圓形軌道的最底點B時對軌道的壓力為6mg．

點評：該題考查了機械能守恒，要熟練的掌握機械能守恒的條件以及重力做功的特點；此題的關鍵是向心力的確定，知道小球恰能通過圓形軌道最高點的條件是速度為v=

gR

，小球運動到圓形軌道的最低點時，支持力和重力的合力提供向心力．若要求的是小球對軌道的壓力，一定不要忘記牛頓第三定律．