Question

10．如圖所示，P為位于某一高度處的質量為m的物塊，Q為位于水平地面上的質量為M的特殊平板，$\frac{m}{M}$=$\frac{1}{2}$，平板與地面間的動摩擦因數μ=0.1．在板的上表面的上方，存在一定厚度的“相互作用區域”，區域的上邊界為MN，如圖中劃虛線的部分．當物塊P進入相互作用區域時，P、Q之間便有相互作用的恒力F=11mg，其中Q對P的作用力豎直向上，F對P的作用使P不與Q的上表面接觸．在水平方向上，P、Q之間沒有相互作用力．已知物塊P開始下落的時刻，平板Q向右的速度為v₀=10m/s，P從開始下落到剛到達“相互作用區域”所經歷的時間為t₀=1.0s．平板Q足夠長，空氣阻力不計，g取10m/s²．求：
（1）物塊P在相互作用區域中運動時P、Q加速度的大小；
（2）從P開始下落至第一次運動到最低點過程中P在相互作用區域運動的時間t及此過程Q的位移；
（3）從P開始下落至平板Q的速度為零時，P一共回到出發點幾次？

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律求P、Q的加速度；
（2）注意當物塊P到達相互作用區域時，Q對地面的壓力增大，因此摩擦力發生變化，其運動的加速度也發生變化，理清其加速度的變化情況，然后根據運動規律；
（3）物塊P進入相互作用區域和離開時加速度不同，而且具有周期性，然后根據速度與時間的關系求解即可．

解答 解：（1）根據牛頓第二定律，得：
對P：$F-mg=m{a}_{p}^{\;}$
對Q：$μ（F+Mg）=M{a}_{Q}^{\;}$
解得：a_P=100m/s²，a_Q=6.5m/s²
（2）P進入相互作用區域時的速度v_P=gt₀=10m/s
P在相互作用區域運動的時間$t=\frac{{v}_{p}^{\;}}{{a}_{p}^{\;}}=0.1s$
設P開始下落至進入區域前Q的加速度為a_Q0，
根據第二定律，得μMg=Ma_Q0
解得：a_Q0=1m/s²
由運動學公式，得：
Q在此過程的位移：${x}_{1}^{\;}={v}_{0}^{\;}{t}_{0}^{\;}-\frac{1}{2}{a}_{q0}^{\;}{t}_{0}^{2}=10×1-\frac{1}{2}×1×{1}_{\;}^{2}$=9.5m
P剛到達相互作用區域時Q的速度為v₁=v₀-a_Q0t₀=9 m/s
P進入相互作用區域至運動到最低點過程中，Q的位移：
${x}_{2}^{\;}={v}_{1}^{\;}t-\frac{1}{2}{a}_{Q}^{\;}{t}_{\;}^{2}≈0.87m$
故Q的位移為x=x₁+x₂=10.37m
（3）設板Q速度為零時，P一共回到出發點n次．則：
v₀-2na_Q0t₀-2na_Qt=0
代入數據，解得n=3.03
故n取3
答：（1）物塊P在相互作用區域中運動時P、Q加速度的大小$6.5m/{s}_{\;}^{2}$
（2）從P開始下落至第一次運動到最低點過程中P在相互作用區域運動的時間t為0.1s及此過程Q的位移10.37m；
（3）從P開始下落至平板Q的速度為零時，P一共回到出發點3次

點評 本題的難點是對Q正確進行受力分析，弄清楚其加速度的變化，從而明確運動規律，然后根據運動學規律或者功能關系求解．