Question

宇宙中存在一些離其它恒星較遠的、由質量相等的三顆星組成的三星系統，通常可忽略其它星體對它們的引力作用.已觀測到穩(wěn)定的三星系統存在兩種基本的構成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行.設每個星體的質量均為m.

(1)試求第一種形式下，星體運動的線速度和周期.

(2)假設兩種形式星體的運動周期相同，第二種形式下星體之間的距離應為多少？

Answer 1

解析：(1)對于第一種運動情況，如圖1-5-6（a）所示，以某個運動星體為研究對象，根據牛頓第二定律和萬有引力定律有

圖1-5-6

F₁=

F₁+F₂=mv²/R

運動星體的線速度v=

周期為T，則有T=

T=4π

(2)設第二種形式星體之間的距離為r，如圖(b)所示，則三個星體作圓周運動的半徑為

R′=

由于星體作圓周運動所需要的向心力靠其它兩個星體的萬有引力的合力提供，由力的合成和牛頓運動定律有

F_合=2cos30°

F_合=mR′

所以r= R

答案：(1)4π  (2)R