Question

宇宙中存在一些離其它恒星較遠的、由質量相等的三顆星組成的三星系統，通常可忽略其它星體對它們的引力作用．已觀測到穩定的三星系統存在兩種基本的構成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為 R 的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個項點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行．設三顆星質量相等，每個星體的質量均為m．（已知萬有引力常量G）
（1）試求第一種情況下，星體運動的線速度和周期
（2）假設第二種情況下星體之間的距離為R，求星體運動的線速度和周期．

Answer 1

分析：（1）畫出三顆星位置示意圖．兩側的星由另外兩個星的萬有引力的合力提供向心力，列式求解線速度和周期．
（2）對于任意一個星體，由另外兩個星體的萬有引力的合力提供向心力，列式求解線速度和周期．

解答：解：（1）第一種形式下，星體A探馬星體B和星體C兩個萬有引力，它們的合力充當向心力，則：
  

Gmm

R2

+

Gmm

(2R)2

=m

v2

R

=m

4π2

T2

R
解得，線速度 v=

5Gm 4R

，周期 T=2πR

4R 5Gm

（2）第二種情形下，星體之間的距離為R，那么圓周運動的半徑 r=

R 2

cos30°

=

R

3

星體A受的合力 F_合=2

Gmm

R2

cos30°=

3 Gmm

R2

故有

3 Gmm

R2

=m

v2

r

聯立解得，v=

Gm R

，T=

2πr

v

=2πR

R 3Gm

答：（1）第一種情況下，星體運動的線速度是

5Gm 4R

，周期為2πR

4R 5Gm

．
（2）假設第二種情況下星體之間的距離為R，星體運動的線速度為

Gm R

，周期為2πR

R 3Gm

．

點評：萬有引力定律和牛頓第二定律是力學的重點，在本題中有些同學找不出什么力提供向心力，關鍵在于進行正確受力分析．