Question

12．物體A在地面上足夠高的空中以速度v₁平拋，與此同時，物體B在A正下方距離h處以速度v₂豎直上拋，不計空氣阻力，則二者在空中運動時的最近距離為（　　）

• A． h$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$
• B． h$\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}$
• C． h$\frac{{v}_{1}}{\sqrt{{{v}_{1}}^{2}+{{v}_{2}}^{2}}}$
• D． h$\frac{{v}_{2}}{\sqrt{{{v}_{1}}^{2}+{{v}_{2}}^{2}}}$

Answer 1

分析 物體A做平拋運動，B做豎直上拋運動；將平拋運動沿著水平和豎直方向正交分解，根據位移時間公式和幾何關系得到二者距離與運動時間的關系式，利用數學知識求解．

解答 解：設兩個物體運動時間t時相距為S．
根據位移時間公式和幾何關系得：S²=（v₁t）²+[h-$\frac{1}{2}g{t}^{2}$-（v₂t-$\frac{1}{2}g{t}^{2}$）]²=（v₁²+v₂²）t²-2hv₂t+h²．
根據數學知識可得 S²的最小值為：S²_min=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{4（{v}_{1}^{2}+{v}_{2}^{2}）{h}^{2}-（2h{v}_{2}）^{2}}{4（{v}_{1}^{2}+{v}_{2}^{2}）}$=$\frac{{h}^{2}{v}_{1}^{2}}{{v}_{1}^{2}+{v}_{2}^{2}}$
所以S的最小值為：S_min=h$\frac{{v}_{1}}{\sqrt{{{v}_{1}}^{2}+{{v}_{2}}^{2}}}$
故選：C

點評 解決本題關鍵知道平拋運動在水平方向上做勻速直線運動，在豎直方向上做自由落體運動，要明確兩個物體位移上存在的幾何關系，運用數學知識求間距的極小值．