Question

1．一顆人造衛星在離地面高度等于地球半徑的圓形軌道上運行，已知衛星的第一宇宙速度為7.9km/s，地球表面重力的加速度為g=10m/s²，求：
（1）這顆衛星運行的速度是多大？
（2）它繞地球運動的向心加速度是多大？

Answer 1

分析 （1）此題為衛星做圓周運動的基本計算型題目，根據萬有引力提供向心力列式，求解線速度．
（2）由牛頓第二定律和萬有引力等于重力列式，求解向心加速度．

解答 解：（1）人造地球衛星在圓形軌道上運行時，由萬有引力提供向心力，則有：
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
解得$v=\sqrt{\frac{GM}{2R}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{GM}{R}}$
對于衛星的第一宇宙速度有：${v}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{GM}{R}}$=7.9km/s
代入數據解得：v=$\frac{1}{\sqrt{2}}×7.9km/s$=5.58km/s
（2）根據牛頓第二定律得：
$ma=G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}$
得加速度：$a=G\frac{M}{{r}_{\;}^{2}}=G\frac{M}{（2R）_{\;}^{2}}$
又$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$
聯立兩式得：$a=\frac{g}{4}=2.45m/{s}_{\;}^{2}$
答：（1）這顆衛星運行的速度是5.58km/s
（2）它繞地球運動的向心加速度是2.45$m/{s}_{\;}^{2}$

點評 此題為衛星做圓周運動的基本計算型題目，主要考查萬有引力充當向心力和萬有引力等于重力的相關應用和計算．