Question

如圖，光滑半圓形軌道半徑為R，水平面粗糙，彈簧自由端D與軌道最低點C距離為4R，一質量為m的可視為質點的小物塊自圓軌道中點B由靜止釋放，壓縮彈簧后被彈回到D點恰好靜止．已知物塊與水平面的動摩擦因數為0.2：重力加速度為g，彈簧始終處在彈性限度內，求：
（1）彈簧的最大壓縮量和最大彈性勢能
（2）現把D點右側水平地面打磨光滑，且已知彈簧壓縮時彈性勢能與壓縮量的二次方成正比，使小物塊壓縮彈簧，釋放后能通過半圓軌道最高點A，壓縮量至少是多少？

Answer 1

分析：（1）對小物塊從B到壓縮到最右端再返回到D點為研究過程，根據動能定理求出彈簧的最大壓縮量．從壓縮量最大位置到返回原長的過程中，彈性勢能全部轉化為摩擦產生的內能，根據能量守恒求出最大彈性勢能．
（2）根據牛頓第二定律求出通過最高點A的最小速度，抓住彈簧壓縮時彈性勢能與壓縮量的二次方成正比，從彈簧壓縮的位置到A點運用動能定理，求出壓縮量的大小．

解答：解：（1）設最大壓縮量為x，最大彈性勢能為E_P，由動能定理得
 mgR-μmg（4R+2x）=0          ①
得  x=0.5R                  ②
返回過程彈性勢能全部轉化為摩擦產生的內能 E_P=μmgx           ③
得    E_P=0.1mgR              ④
故彈簧的最大壓縮量為0.5R，最大彈性勢能為0.1mgR．
（2）設壓縮量至少為x′，相應的彈性勢能為E_P′
  

EP′

EP

=

x′2

x2

                        ⑤
  mg=m

vA2

R

                       ⑥
EP′-μmg?4R-mg?2R=

1

2

mvA2      ⑦
聯立⑤⑥⑦解得  x′=

33

2

R          ⑧
故壓縮量至少是

33

2

R．

點評：本題綜合運用了動能定理和能量守恒定律，解決本題的關鍵靈活選取研究的過程，選用適當的規律進行求解．