Question

2．在豎直桿上安裝一個光滑小導向槽，使豎直上拋的小球能改變方向后做平拋運動；不計經導向槽時小球的能量損失；設小球從地面沿桿豎直上拋的速度大小為v，重力加速度為g；那么當小球有最大水平位移時，下列說法正確的是（　　）

• A． 導向槽位置應在高為$\frac{{v}^{2}}{4g}$的位置
• B． 最大水平距離為$\frac{{v}^{2}}{g}$
• C． 小球在上、下兩過程中，在經過某相同高度時，合速度的大小總有v_下=2v_上
• D． 當小球落地時，速度方向與水平方向成45°角

Answer 1

分析 根據機械能守恒定律求出平拋運動的初速度，根據平拋運動規律求解水平位移表達式，根據數學知識求解水平位移最大時導向槽的高度；根據機械能守恒定律分析在某高度處時的速率；根據平拋運動的兩個推論確定落地時速度方向．

解答 解：A、設小球平拋時的初速度為v₀，根據機械能守恒定律可得：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+mgh=$\frac{1}{2}$mv²，解得：v₀=$\sqrt{{v}^{2}-2gh}$；
根據平拋運動的知識可得下落時間：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，則水平位移 x=v₀t=$\sqrt{（{v}^{2}-2gh）•\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{（\frac{{v}^{2}}{g}-2h）•2h}$
根據數學知識知，當$\frac{{v}^{2}}{g}$-2h=2h時水平位移最大，解得 h=$\frac{{v}^{2}}{4g}$，故A正確；
B、由上知：最大的水平距離為：x=$\sqrt{4{h}^{2}}$=2h=$\frac{{v}^{2}}{2g}$，故B錯誤；
C、根據機械能守恒定律可知，在某高度處時上升的速率和下落的速率相等，即v_下=v_上，故C錯誤；
D、設速度與水平方向成θ，位移與水平方向的夾角為為α，根據平拋運動的規律可知，tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
tanα=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{{v}_{y}}{2}t}{{v}_{0}t}$=$\frac{{v}_{y}}{2{v}_{0}}$，則有 tanθ=2tanα=2×$\frac{h}{2h}$=1，所以θ=45°，故D正確．
故選：AD．

點評 本題的關鍵是根據平拋運動的規律和機械能守恒定律得到水平位移的表達式，要知道平拋運動可以分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，還要知道分運動和合運動具有等時性．