Question

如圖所示，虛線左側存在非勻強電場，MO是電場中的某條電場線，方向水平向右，長直光滑絕緣細桿CD沿該電場線放置．質量為m₁、電量為+q₁的A球和質量為m₂、電量為+q₂的B球穿過細桿（均可視為點電荷）．t=0時A在O點以速度υ₀向左做勻速運動，同時B在O點右側某處以速度υ₁也向左運動，且υ₁＞υ₀．t=t₀時B到達O點（未進入非勻強電場區域），A運動到P點，此時兩電荷間距離最小．靜電力常量為k．

（1）求0～t₀時間內A對B球做的功；
（2）求桿所在直線上場強的最大值；
（3）某同學計算出0～t₀時間內A對B球做的功W₁后，用下列方法計算非勻強電場PO兩點間電勢差：
設0～t₀時間內B對A球做的功為W₂，非勻強電場對A做的功為W₃，根據動能定理W₂+W₃=0，又因為W₂=-W₁PO兩點間電勢差U=

W3

q1

=

W1

q1

請分析上述解法是否正確，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題，t=0時A球以速度υ₀在非勻強電場中向左做勻速運動，以速度υ₁向左運動，且υ₁＞υ₀．則AB間距離不斷減小，B球做減速運動，t=t₀時兩者速度相同，距離最小，在此過程中只有A球的庫侖力對B球做功，根據動能定理求解0～t₀時間內A對B球做的功；
（2）A做勻速運動，所受的電場力與B球對它的庫侖力相平衡，當B球到達O點時，兩帶電小球間的距離最小，庫侖力最大，A所受的電場力也最大，場強最大，根據平衡條件和庫侖定律求解場強的最大值；
（3）該同學的解法是錯誤的．B球向A球靠近的過程，兩者位移不等，W₂≠-W₁．

解答：解：（1）B球運動過程中只受A球對它的庫侖力作用，當它運動到0點時速度跟A球相同為υ₀．根據動能定理得：
   W=

1

2

mυ

2 0

-

1

2

mυ12
（2）因為A球做勻速運動，t₀時間內運動的位移x=υ₀t₀
此時的庫侖力  F=k

q1q2

x2

=

Kq1q2

υ 02t 02

因為A球始終做勻速運動，所以非勻強電場對它的作用力與B球對它的庫侖力相平衡．
當B球到達O點時，兩帶電小球間的距離最小，庫侖力最大．
因此，電場對A的作用力也最大，電場強度也最大．E=

F

q1

=

kq2

υ02t 02

（3）該同學的解法是錯誤的．                       
因為B球向A球靠近的過程，雖然它們的作用力大小相等，但它們運動的位移不等，所以相互作用力所做的功W₁、W₂的大小不相等，即W₂=-W₁是錯誤的． 
答：（1）0～t₀時間內A對B球做的功是

1

2

m

v

2 0

-

1

2

m

v

2 1

；
（2）桿所在直線上場強的最大值是

kq2

v 2 0 t 2 0

；
（3）該同學的解法是錯誤的．
因為B球向A球靠近的過程，雖然它們的作用力大小相等，但它們運動的位移不等，所以相互作用力所做的功W₁、W₂的大小不相等，即W₂=-W₁是錯誤的．

點評：本題根據兩球之間庫侖力的變化，分析B球的運動情況，確定速度相同時距離最小是關鍵，再根據動能定理和庫侖定律結合求解．