Question

在地面上足夠高的地方，存在一個高度為的“相互作用區”（如圖中劃有虛線的部分）一個小圓環P套在一根均勻直桿Q上，P和Q的質量均為=0.1kg，開始時P處于Q的最下端，Q豎直放置，P距“相互作用區域”的高度為，讓P和Q一起從靜止開始下落。求：

⑴當P進入“相互作用區域”時，若P受到一個方向向上的恒力的作用，而Q不受影響。設P、Q間的滑動摩擦力，問要使環 P不從桿Q上滑落，桿Q至少要長？

⑵若“相互作用區域”和桿Q都足夠長，當P進入“相互作用區域”時， P既受到一個方向向下的恒力作用，同時也受到一個水平力（其中，是P的速即時速度）作用，設P和Q間的動摩擦因數μ=0.5，已知P從進入“相互作用區域”開始，經過的時間剛好達到最大速度，求其最大速度和此時Q的速度各是多大？（假設桿Q在下落過程始終保持豎直，不計空氣阻力，）

  

Answer 1

（1）0.7m  （2）30m/S   14m/s 

解析:

⑴對P、Q，在沒有進入“相互作用區域”前是相對靜止的，由機械能守恒得：

    ┅①

    當P進入“相互作用區域”后，P受重力、滑動摩擦力和豎直向上的恒力作用而作減速向下運動，設其剛離開 “相互作用區域”時速度為，同時Q的速度為，由動能定理得： ┅②

P進入“相互作用區域”后，和Q組成的系統隱含合外力為零，動量守恒，即有：

┅③

對Q，由動能定理得┅④

    因，故P出來后，受到向上的摩擦力，Q受向下的摩擦力，設經歷時間兩者達到共速，分別由動量定理得，對P：┅⑤

    對Q：┅⑥

代入已知解①–⑥得，，，

，，，

    設環P離開相互作用區域后在桿Q上滑行的距離為，由于兩者都作勻變速直線運動，故可作出兩者的圖如圖3-2所示，則為中的陰影面積值，即

。

   

則要使P不從Q上滑落， Q的長度至少為

。

    ⑵當P以進入“相互作用區

域”后，因作用力變了，運動性質也變了，兩者都是變加速運動，對P，由牛頓第二定律得：

，顯然，當 時，得最大的。

    設在經時間后Q的速度為，對P、Q組成的系統，豎直方向上由動量定理得：

   

代入解得。