Question

（2009?上海二模）如圖所示，一塊長為L、質量m的扁平均勻規則木板通過裝有傳送帶的光滑斜面輸送．斜面與傳送帶靠在一起連成一直線，與水平方向夾角θ，傳送帶以較大的恒定速率轉動，傳送方向向上，木板與傳送帶之間動摩擦因數為常數．已知木板放在斜面或者傳送帶上任意位置時，支持力均勻作用在木板底部．將木板靜止放在傳送帶和光滑斜面之間某一位置，位于傳送帶部位的長度設為x，當x=L/4時，木板能保持靜止．
（1）將木板靜止放在x=L/2的位置，則木板釋放瞬間加速度多大？
（2）設傳送帶與木板間產生的滑動摩擦力為f，試在0≤x≤L范圍內，畫出f-x圖象．（本小題僅根據圖象給分）
（3）木板從x=L/2的位置靜止釋放，始終在滑動摩擦力的作用下，移動到x=L的位置時，木板的速度多大？
（4）在（3）的過程中，木塊的機械能增加量設為△E，傳送帶消耗的電能設為W，不計電路中產生的電熱，比較△E和W的大小關系，用文字說明理由．

Answer 1

分析：（1）當x=

L

4

時，木板能保持靜止．木塊受靜摩擦力與重力沿斜面方向的分力平衡，木板靜止放在x=

L

2

的位置，靜摩擦力大小與放在傳送帶上的長度成正比，則摩擦力加倍，根據牛頓第二定律求出木板釋放瞬間的加速度．
（2）在0≤x≤L范圍內，摩擦力與放在傳送帶上的長度成正比，當當x=

L

4

時，f=mgsinθ，當x=L時，則摩擦力為f=4mgsinθ．
（3）摩擦力f與位移x圖線與x軸所圍成的面積表示摩擦力所做的功，求出木板從x=L/2的位置靜止釋放，移動到x=L的位置過程中摩擦力所做的功，根據動能定理求出木板的速度．
（4）在（3）的過程中，傳送帶消耗的電能一部分轉化為木塊的機械能，還有一部分轉化為相對滑動產生的內能．

解答：解：（1）x=

L

4

時，f₁=mgsinθ
    x=

L

2

時，摩擦力加倍，f₂=2mgsinθ
由牛頓運動定律得a=

f2-mgsinθ

m

=gsinθ
（2）在0≤x≤L范圍內，摩擦力與放在傳送帶上的長度成正比，當當x=

L

4

時，f=mgsinθ，當x=L時，則摩擦力為
f=4mgsinθ．如圖．
（3）利用（2）中圖象，可知摩擦力做功：W=

3

2

mgLsinθ
由動能定理W-

1

2

mgLsinθ=

1

2

mv2
得v=

2gLsinθ

（注：由于摩擦力與位移成線性關系，所以使用“平均摩擦力“位移”的計算方式也對．）
（4）△E小于W，因為傳送帶與木板之間有滑動摩擦，電能有一部分轉為了內能．

點評：解決本題的關鍵知道摩擦力大小與放在傳送帶上的長度成正比，以及知道摩擦力f與位移x圖線與x軸所圍成的面積表示摩擦力所做的功，根據面積求出變力功．