Question

如圖所示，在傾角為θ = 30^o 的光滑斜面的底端有一個固定擋板D，小物體C靠在擋板D上，小物體B與C用輕質彈簧拴接。當彈簧處于自然長度時，B在O點；當B靜止時，B在M點，OM = l。在P點還有一小物體A，使A從靜止開始下滑，A、B相碰后一起壓縮彈簧。A第一次脫離B后最高能上升到N點，ON = 1.5 l。B運動還會拉伸彈簧，使C物體剛好能脫離擋板D。A、B、C的質量都是m，重力加速度為g。求

（1）彈簧的勁度系數；

（2）彈簧第一次恢復到原長時B速度的大小；

（3）M、P之間的距離。

Answer 1

（1）k=

（2）

（3）x=9l

解析:

（1）B靜止時，彈簧形變量為l，彈簧產生彈力F=kl

B物體受力如圖所示，根據物體平衡條件得

kl =mgsinθ                                 （1分）

得彈簧的勁度系數k=                                   （1分）

（2）當彈簧第一次恢復原長時A、B恰好分離，設此時A、B速度的大小為v₃．（1分）

對A物體，從A、B分離到A速度變為0的過程，根據機械能守恒定律得  

                                                           （1分）

此過程中A物體上升的高度   

得                                                 （1分）

（3）設A與B相碰前速度的大小為v₁，A與B相碰后速度的大小為v₂，M、P之間距離為x．對A物體，從開始下滑到A、B相碰的過程，根據機械能守恒定律得          

                                                 （1分）

A與B發生碰撞，根據動量守恒定律得   m v₁=（m+m）v₂       （1分）

設B靜止時彈簧的彈性勢能為E_P，從A、B開始壓縮彈簧到彈簧第一次恢復原長的過程，根據機械能守恒定律得

           （1分）

B物體的速度變為0時，C物體恰好離開擋板D，此時彈簧的伸長量也為l，彈簧的彈性勢能也為E_P．對B物體和彈簧，從A、B分離到B速度變為0的過程，根據機械能守恒定律得

                 （1分）

解得      x=9l                                  （1分）