Question

5．設地球的半徑為R，質量為m的衛星在距地面為3R的高處做勻速圓周運動，地面的重力加速度為g，地球自傳周期為T，則下列說法正確的是（　　）

• A． 衛星的周期為4π$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
• B． 衛星的線速度為$\sqrt{\frac{gR}{2}}$
• C． 該衛星與同步衛星角速度之比為$\frac{T}{8π}$$\sqrt{\frac{g}{R}}$
• D． 該衛星與同步衛星角速度之比為$\frac{T}{16π}$$\sqrt{\frac{g}{R}}$

Answer 1

分析 衛星在距地面為3R的高處，其軌道半徑為4R，研究衛星繞地球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式表示出線速度、角速度、周期、加速度等物理量．忽略地球自轉的影響，根據萬有引力等于重力列出等式分析．同步衛星的角速度等于地球自轉的角速度．

解答 解：研究衛星繞地球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式：$\frac{GMm}{{（4R）}^{2}}=m×4R{×（\frac{2π}{T}）}^{2}$=$\frac{{mv}^{2}}{4R}$
忽略地球自轉的影響，根據萬有引力等于重力列出等式$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$
A、衛星的周期為T=16π$\sqrt{\frac{R}{g}}$，故A錯誤；
B、衛星的線速度為v=$\frac{1}{2}$$\sqrt{gR}$，故B錯誤；
CD、同步衛星的角速度等于地球自轉的角速度${ω}_{自}=\frac{2π}{T}$，衛星的角速度為${ω}_{衛}=\frac{v}{4R}$=$\frac{1}{8}\sqrt{\frac{g}{R}}$，結合B選項的結果可得衛星與同步衛星角速度之比為$\frac{T}{16π}$$\sqrt{\frac{g}{R}}$；故C錯誤，D正確；
故選：D

點評 注意軌道半徑為衛星到地心的距離．向心力的公式選取要根據題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應用．運用黃金代換式GM=gR²求出問題是考試中常見的方法．此外，該衛星與同步衛星的關系，可以由開普勒第三定律確定．