Question

如圖所示，A₁D是水平面，AC是傾角為45°的斜面，小物塊從A點(diǎn)由靜止釋放沿ACD滑動(dòng)，到達(dá)D點(diǎn)時(shí)速度剛好為零．將上述過程改作平拋運(yùn)動(dòng)，小明作了以下三次嘗試，物塊最終也能到達(dá)D點(diǎn)：第一次從A點(diǎn)以水平初速度v₁向右拋出物塊，其落點(diǎn)為斜面AC的中點(diǎn)B；第二次從A點(diǎn)以水平初速度v₂向右拋出物塊，其落點(diǎn)為斜面的底端C；第三次從A點(diǎn)以水平初速度v₃向右拋出物塊，其落點(diǎn)剛好為水平面上的D點(diǎn)．已知∠AA₁C=90°，長度A₁C=CD，物塊與斜面、水平面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)均相同，經(jīng)C點(diǎn)的速率不變．求
（1）物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（2）初速度之比v₁：v₂：v₃；
（3）物塊落到B、C兩點(diǎn)前瞬時(shí)速度v_B、v_C大小比值．

Answer 1

分析：（1）對物塊從A-D的運(yùn)動(dòng)過程運(yùn)用動(dòng)能定理（在此過程中只有重力和摩擦力做功，初末動(dòng)能都為零）即可解題；
（2）三次運(yùn)動(dòng)都做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系可知，三次運(yùn)動(dòng)的水平位移和豎直高度都是已知的，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式即可求解；
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解，求出物塊在B、C兩點(diǎn)的速度，然后求出其比值．

解答：解：（1）物塊從A→C→D過程中，由動(dòng)能定理得：
mgx_ACsin45°-μmgx_ACcos45°-μmgx_CD=0，
解得：μ=

xACsin45°

xACcos45°+xCD

=0.5；
（2）A→B：x₁=v₁t₁y1=

1

2

g

t

2 1

，
A→C：x₂=v₂t₂y2=

1

2

g

t

2 2

，
A→D：2x₂=v₃t₃
y2=

1

2

g

t

2 3

，
因tan45°=

y1

x1

=

y2

x2

，y₂=2y₁，
所以

t1

t2

=

1

2

，

v1

v2

=

1

2

，
因t₂=t₃，所以

v2

v3

=

2

2 2

初速度之比v₁：v₂：v₃=1：

2

：2

2

；
（3）物塊在B點(diǎn)的速度大小：vB=

v 2 1 +(gt1)2

，
在C點(diǎn)速度大小：vC=

v 2 2 +(gt2)2

=

( 2 v1)2+( 2 gt1)2

，
則兩速度之比：

vB

vC

=

v 2 1 +(gt1)2

( 2 v1)2+( 2 gt1)2

=

1

2

；
答：（1）物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5；
（2）初速度之比v₁：v₂：v₃=1：

2

：2

2

；
（3）物塊落到B、C兩點(diǎn)前瞬時(shí)速度v_B、v_C大小比值為

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查了動(dòng)能定理及平拋運(yùn)動(dòng)的相關(guān)概念和公式，解題時(shí)對數(shù)學(xué)知識的要求比較高，難度較大．