Question

17．如圖所示．某一平面內有一半徑為R的圓形區城，一條直線與圓相交．圓心O到直線的距離為$\frac{3}{5}$R．一個質點沿直線在圓上的a點射入，在圓形區域內所受合力F₁的大小不變，方向始終與速度方向垂直，質點在圓上的b點離開該區域，離開時速度方向與直線垂直．同一質點以同樣速度沿直線在圓上的a點射入，在圓形區域內所受合力F₂的大小不變，方向始終與直線方向垂直，質點也在b點離開該區域．求：
（1）b點到直線的距離．
（2）F₁與F₂的比值．

Answer 1

分析 （1）過b點和O點做垂直于沿圖中直線的垂線，分別于直線交與c和d點，由幾何關系知，線段ac、bc和過a、b兩點的軌跡圓弧的兩條半徑圍成一正方形，由幾何關系可以得到半徑，從而求出b點到直線的距離
（2）粒子在F₂作用下做類平拋，由平拋規律可以表示出來其大小，再由勻速圓周運動表示出來F₁的大小，進而得到F₂．

解答 解：（1）過b點和O點做垂直于沿圖中直線的垂線，分別于直線交與c和d點，由幾何關系知，線段ac、bc和過a、b兩點的軌跡圓弧的兩條半徑圍成一正方形，如圖：
因此有：
ac=bc=r
設cd=x，圓心O到直線的距離為$\frac{3}{5}$R，則ad=$\frac{4}{5}R$，由幾何關系得：
$ac=\frac{4}{5}R+x$
$bc=\frac{3}{5}R+\sqrt{{R}_{\;}^{2}-{x}_{\;}^{2}}$
聯立解得：
$x=\frac{3}{5}R$
所以$bc=\frac{7}{5}R$，即b點到直線的距離為$\frac{7}{5}R$
（2）粒子在F₂的作用下做類平拋運動，設其加速度大小為a，物體在圓形區域內運動的時間為t，由牛頓第二定律得：
F₂=ma…①
由運動學公式得：
$r=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$…②
r=vt…③
由②③解得：
$a=\frac{2{v}_{\;}^{2}}{r}$
代入①得：
${F}_{2}^{\;}=m\frac{2{v}_{\;}^{2}}{r}=2\frac{m{v}_{\;}^{2}}{r}$
粒子在水平面內做勻速圓周運動，設粒子在a點的速度為v，圓周半徑為r，由向心力公式得：
${F}_{1}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
故$\frac{{F}_{1}^{\;}}{{F}_{2}^{\;}}=\frac{1}{2}$
答：（1）b點到直線的距離$\frac{7}{5}R$．
（2）F₁與F₂的比值$\frac{1}{2}$．

點評 本題重點是對數學知識的應用，要求作圖能力，數學幾何能力都比較好才行，有點偏重數學了