Question

5．線軸沿水平面作沒有滑動的滾動，并且線端（A點）的速變為v，方向水平向右．以鉸鏈固定于B點的木板靠在線軸上（如圖所示），線軸的內、外半徑分別為r和R．試確定木板的角速度ω與角α的關系．

Answer 1

分析 線上的A點與大圓的邊緣的點具有相等的角速度，由線速度與角速度的關系求出大圓邊緣的線速度；板與圓的切點具有相等的法向速度，結合它們的幾何關系即可求出．

解答 解：如圖，板上的C點與線軸上的C點具有相等的法向速度v_n，而且板上的v_n正是C點關于B軸的轉動速度，則：

${v}_{n}=ω•\overline{BC}=ω•Rcot\frac{α}{2}$
線軸上C點的速度是C點對軸心O的轉動速度v_cn和與軸心相等的平動速度v_o的矢量的和，而v_cn是沿圓的切向的，則C點的法向速度v_n應為：
v_n=v_o•sinα
線軸為剛體，且做純滾動，所以以線軸與水平面的切點為基點，應有：
$\frac{v}{R+r}=\frac{{v}_{0}}{R}$
所以：${v}_{0}=\frac{R}{R+r}$
聯立得：$ω=\frac{1-cosα}{R+r}$v
答：木板的角速度ω與角α的關系為$ω=\frac{1-cosα}{R+r}$v．

點評 該題為競賽輔導題目，考查相對速度與牽連速度，因涉及的物理量與數學的關系比較多，這一類的題目歷來是競賽的難點之一，沒有這方面能力的同學不需要做這一類的題目．