Question

如圖所示的裝置是在豎直平面內放置的光滑絕緣軌道，處于水平向右的勻強電場中，帶負電荷的小球從高h的A處由靜止開始下滑，沿軌道ABC運動并進入圓環內做圓周運動．已知小球所受電場力是其重力的3/4，圓環半徑為R，斜面傾角θ=60°，S_BC=2R．若使小球在圓環內能做完整的圓周運動，h至少為多高？

Answer 1

分析：本題的關鍵是找出小球能完成圓周運動的速度最小的點即等效最高點．類比小球只受重力作用下在豎直面內完成圓周運動的條件可知，把小球受到的重力與電場力看做為等效“重力”，求出小球能平衡的位置（等效最低點），則該點關于圓心的對稱點即為等效“最高點”，然后根據恰好完成圓周運動的條件結合動能定理即可求解．

解答：解：如圖所示，設小球能靜止在圖示位置，受力分析可知，將mg和Eq等效為一個力，如圖所示，則tanβ=

Eq

mg

=

3

4

，所以β=37°，且

F

合

=1.25mg，設此位置關于圓心的對稱點為D點，則D點即為等效“最高點”，小球能過D點即能完成圓周運動，若小球恰能過D點，應滿足球和環之間的彈力為0，在D點由圓周運動方程得：
 1.25mg=

mv 2 D

R

從A到D由動能定理可得：mg（h-R-Rcosβ）-

3

4

mg(

h

tanθ

+2R+Rsinβ)=

1

2

mv

D

，其中θ=60°
聯立以上兩式解得：h=

35(4+ 3 )

26

R=7.7R

答：若使小球在圓環內能做完整的圓周運動，h至少為7.7R．

點評：在豎直平面內的復合場的圓周運動問題，注意等效最高點的求法是：先對小球受力分析，求出能平衡的位置，則該點關于圓心的對稱點即為等效最高點，小球只要能過該位置即能完成圓周運動，然后根據牛頓第二定律結合動能定理即可求解．