Question

（18分）如圖示，豎直平面內半圓形管道ADB固定在CD桿上，AB為直徑，CD過圓心O且與AB垂直，半圓管道右半BD部分光滑，左半AD部分有摩擦，圓管道半徑R=OB=0.2m，E點為圓管道BD中的一點，OE與CD夾角為θ=60⁰ ，兩個完全相同的可看作質點的小球，球直徑略小于管道內徑，小球質量m=0.1kg ，g=10m/s² ，求：

（1）如圖甲所示，當圓管道繞CD桿勻速轉動時，要使小球穩定在管道中的E點，角速度ω應該多大？

（2）如圖乙所示，圓管道保持靜止，在圓管道D點處放置一靜止小球，另一小球由靜止開始從B端管口放入，該球經過D點時（未與另一小球相碰）對管道的壓力？

（3）接（2）問，兩球在D點相碰(碰撞時間極短)后粘在一起能運動到最高點F，OF與CD夾角為α=37⁰ ，求此過程中摩擦力所做的功？

Answer 1

解：（1）小球在E點時受重力和管道的彈力，其合力提供向心力

由牛頓第二定律可得

………………….(2分)

                   (1分)

………………………..(1分)

（2）設小球運動到D點時速度為v₁ ，由機械能守恒定律可得

……….(2分)

…………….(1分)

設小球受到管道的彈力為N₂，沿半徑方向由牛頓第二定律可得

………………….(2分)

………………………………..(1分)

根據牛頓第三定律，小球過E點時對管道的壓力F=1.5N     (1分)

（3）設碰后瞬間兩球的速度為v₂，根據動量守恒定律

……………………………….(2分)

     (1分)

設摩擦力做功為w，由動能定理可得

…………(3分)

……………………………………….(1分)