Question

（11分）宇宙中存在一些離其他恒星較遠的、由質量相等的三顆星組成的三星系統，通常可忽略其他星體對它們的引力作用，已觀測到穩定的三星系統存在兩種基本的構成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為的圓軌道上運行，如圖甲所示。另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個項點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行，如圖乙所示，設每個星體的質量均為，

   

(1)試求第一種形式下，星體運動的線速度和周期；

(2)假設兩種形式星體的運動周期相同，第二種形式下星體之間的距離應為多少？

Answer 1

解析：

(1)第一種形式下，如圖甲所示，以某個運動的星體為研究對象，根據萬有引力定律和牛頓第二定律，有，則求得星體運動的線速度。又有可求得星體運動的周期為：。

(2)第二種形式下，設星體之間的距離為,如圖乙所示，則三個星體做圓周運動的半徑為，由于星體做圓周運動所需要的向心力靠其他兩個星體的萬有引力的合力提供，由力的合成和牛頓第二定律，有：，解得：。