Question

據報道，北京首條磁懸浮列車運營線路已經完成前期準備工作，正待命開工。磁懸浮列車它的驅動系統可簡化為如圖12模型：固定在列車下端的動力繞組可視為一個矩形純電阻金屬框，電阻為R，金屬框置于xOy平面內，長邊MN長為l，平行于y軸，寬為d的NP邊平行于x軸，如圖甲所示。列車軌道沿Ox方向，軌道區域內存在垂直于金屬框平面的磁場，磁感應強度B沿Ox方向按正弦規律分布，其空間周期為λ，最大值為B₀，即B=B₀sin（2π），如圖乙所示。金屬框同一長邊上各處的磁感應強度相同，整個磁場以速度v₀沿Ox方向勻速平移。列車在驅動系統作用下沿Ox方向勻速行駛，速度為v(v<v₀)。列車所受總阻力雖然很小但不能忽略。設在短暫時間內，MN、PQ邊所在位置的磁感應強度隨時間的變化可以忽略。

（1）可以證明，當線框寬度d=λ/2時，列車可以獲得最大驅動力，求驅動力的最大值；

（2）由于列車與磁場的相對運動，驅動力大小在隨時間變化。寫出驅動力大小隨時間的變化關系式；

（3）為了列車平穩運行，設計方案是在此線框前方合適位置再加一組與線框MNPQ同樣的線框M'N'P'Q'，兩線框間距離滿足一定條件時，列車可以獲得恒定的驅動力。求恒定驅動力大小及在兩線框不重疊的情況下兩組線框的MN與M'N'邊的最小距離。

Answer 1

參考答案：

（1）為使列車獲得最大驅動力，MN、PQ應位于磁場中磁感應強度同為最大值且反向的位置，這會使得金屬框中感應電動勢最大，電流最強，也會使得金屬框長邊受到的安培力最大。此時線框中總的感應電動勢為E_m=2B₀l（v₀-v）

相應的，根據閉合電路歐姆定律I_m=                               

設此時現況MN邊受到的安培力為F_m，根據安培力公式F=BIl                                             

最大驅動力F_m =2B₀I_ml

F_m=

（2）從MN邊在x=0處開始計時，MN邊到達x坐標處，磁場向右移動了v₀t

設此時線框中總的感應電動勢為e，則

e= 2B₀ l（v₀-v）sin（2π）

相應的，感應電流為i=（v₀-v）sin（2π）   

驅動力：F= （v₀-v）sin²（2π）

 （3）為了使驅動力不隨時間變化，即需要消除牽引力表達式中隨時間變化部分，此時只需線框M'N'P'Q'所受力滿足F'=（v₀-v）cos²（2π）

從而使得F_總=（v₀-v）sin²（2π）+（v₀-v）cos²（2π）

F_總=（v₀-v）不隨時間變化                                             

即MN邊受力最大時，M'N'受力最小，而MN邊受力最小時，M'N'受力最大，即M'N'邊與MN邊最少相距3λ/4