Question

如圖所示，x軸與水平傳送帶重合，坐標原點O在傳送帶的左端，傳送帶長L=8m，勻速運動的速度v₀=5m/s．一質量m=1kg的小物塊輕輕放在傳送帶上x_P=2m的P點，小物塊隨傳送帶運動到Q點后恰好能沖上光滑圓弧軌道的最高點N點．小物塊與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.5，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）N點的縱坐標；
（2）從P點到Q點，小物塊在傳送帶上運動系統產生的熱量；
（3）若將小物塊輕放在傳送帶上的某些位置，小物塊均能沿光滑圓弧軌道運動（小物塊始終在圓弧軌道運動不脫軌）到達縱坐標y_M=0.25m的M點，求這些位置的橫坐標范圍．

Answer 1

分析：（1）求解出P到Q過程的加速度，根據運動學公式列式求解出Q點的速度；在N點，重力恰好提供向心力，根據牛頓第二定律列式；最后聯立方程得到圓弧軌道的半徑；
（2）根據Q=f?△S求解熱量．
（3）滑塊在滑動摩擦力的作用下加速，加速距離不同，沖上圓弧軌道的初速度就不同；求出恰好到達圓心右側M點、圓心右側等高點、圓心左側M點的臨界加速距離．

解答：解：（1）小物塊在傳送帶上勻加速運動的加速度a=μg=5m/s²
小物塊與傳送帶共速時，所用的時間t=

v0

a

=1s
運動的位移△x=

v0

2a

=2.5m＜（L-x）=6m
故小物塊與傳送帶達到相同速度后以v₀=5m/s的速度勻速運動到Q，然后沖上光滑圓弧軌道恰好到達N點，故有：mg=m

v 2 N

1 2 yN

由機械能守恒定律得

1

2

m

v

2 0

=mgyN+

1

2

m

v

2 N

解得y_N=1m
（2）小物塊在傳送帶上相對傳送帶滑動的位移s=v₀t-△x=2.5m產生的熱量Q=μmgs=12.5J；
（3）設在坐標為x₁處將小物塊輕放在傳送帶上，若剛能到達圓心右側的M點，由能量守恒得：
μmg（L-x₁）=mgy_M代入數據解得x₁=7.5 m
μmg（L-x₂）=mg（

1

2

y_N）   代入數據解得x₂=7 m
若剛能到達圓心左側的M點，由（1）可知x₃=5.5 m
故小物塊放在傳送帶上的位置坐標范圍為：7m≤x≤7.5m和0≤x≤5.5m
答：（1）N點的縱坐標為1m；
（2）從P點到Q點，小物塊在傳送帶上運動系統產生的熱量為12，5J；
（3）將小物塊輕放在傳送帶上的位置的橫坐標范圍為7m≤x≤7.5m和0≤x≤5.5m時，小物塊均能沿光滑圓弧軌道運動（小物塊始終在圓弧軌道運動不脫軌）到達縱坐標y_M=0.25m的M點．

點評：本題關鍵是明確小滑塊的運動情況，然后分段根據牛頓第二定律、動能定理、運動學公式列式分析求解．