Question

19．在直角坐標系中有P，Q兩點，坐標如圖所示，虛線是以原點為圓心的半圓，半圓與x軸圍成的區域只存在垂直紙面向外的勻強磁場．大量的同種粒子從P點射入磁場，速度方向均在xy平面內，與軸正方向的夾角分布在0-180°范圍內，粒子在磁場做圓周運動的半徑R滿足l≤R≤2l，所有粒子均不從半圓虛線邊界射出．已知粒子質量為m（重力不計），帶電量為q（q＞0），磁感應強度大小為B．
求：（1）經過Q點時速度方向與y軸垂直的粒子的速度大小．
（2）求虛線半圓的最小半徑和從P點運動到Q的粒子中運動時間的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先作出軌跡圖，由幾何關系求出半徑，再根據安培力提供向心力，求出經過Q點時速度方向與y軸垂直的粒子的速度大小；
（2）虛線半圓的最小半徑就是粒子以最大半徑入射時與半圓相切時的半徑，從P點運動到Q的粒子中運動時間的最大值就是對應圓心角最大的時間，運動時間最小值就是對應圓心角最小的時間；

解答 解：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力有
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
從甲圖中可知：$R=\frac{l}{cos30°}$
解得v=$\frac{2\sqrt{3}qBl}{3m}$；
（2）當粒子以最大半徑R=2l向x軸負方向發出打得粒子剛好與半圓相切時，虛線半圓的半徑最小
由乙圖的幾何關系知：l²+R²=（r-R）²
解得：虛線半圓的最小半徑r=$（2+\sqrt{5}）l$
帶電粒子在磁場中運動的周期$T=\frac{2πR}{v}$
從P點運動到Q點的粒子運動時間${t}_{1}=\frac{θ}{360°}T$（其中θ為PQ運動軌跡對應的圓心角）
從圖丙中可知：以O₃位圓心的粒子，圓心角最大，運動時間最長
由幾何關系可知半徑$R=\frac{2\sqrt{3}}{3}l$，且滿足l＜R＜2l
由丙圖可知圓心角θ=240°
則從P點運動到Q的粒子運動時間最長為${t}_{1}=\frac{4πm}{3qB}$
以Q₄為圓心的粒子圓心角最小，運動時間最短
半徑R=2l
由丙圖知圓心角θ為60°
則從P點運動到Q的粒子運動時間最短為${t}_{2}=\frac{πm}{3qB}$；
答：（1）經過Q點時速度方向與y軸垂直的粒子的速度大小為v=$\frac{2\sqrt{3}qBl}{3m}$； 
（2）虛線半圓的最小半徑為r=$（2+\sqrt{5}）l$；從P點運動到Q的粒子中運動時間的最大值為${t}_{1}=\frac{4πm}{3qB}$，最小值為${t}_{2}=\frac{πm}{3qB}$．

點評 本題關鍵是按照解決帶電粒子在運動的一般步驟，找圓心，確定半徑，畫軌跡．尋找臨界條件，求出虛線半圓的最小半徑和從P點運動到Q的粒子中運動時間的最大值和最小值．