Question

7．空間中存在如圖所示的兩平行板電容器1和2，其電壓U₁、U₂未知，兩電容器的板長及板間距離均為d，緊挨著電容器2右側存在一場強B未知的長條形勻強磁場，磁場上下無界，左右邊界寬度未知，今有一電荷量為+q，質量為m的帶電粒子由A點靜止釋放，在電場1加速后沿平行板2的中線進入電場2，已知進入瞬間的粒子速度為v₀，恰好沿電容器2的下級板的右側邊緣飛出，進入右側的磁場，粒子重力不計．試求：
（1）平行板電容器1的電壓U₁；
（2）飛出平行板電容器2時的速度大小及平行板電容器2的電壓U₂；
（3）若經過一段時間后，適當調整U₂的正負極而大小不變，粒子還能夠回到A點，求磁場的磁感應強度B的大小；磁場寬度L滿足的條件；
（4）試求第（3）問中的粒子由A點飛出到返回A點所用的時間．

Answer 1

分析 （1）根據動能定理求平行板電容器1的電壓U₁；
（2）粒子在平行板電容器2中做類平拋運動，根據運動學公式即可求出飛出時的速度大小及平行板電容器2的電壓U₂；
（3）若經過一段時間后，適當調整U₂的正負極而大小不變，粒子還能夠回到A點，畫出軌跡，求出半徑，根據半徑公式即可求出磁場的磁感應強度B的大小；由幾何關系即可求出磁場寬度L滿足的條件；
（4）分別求出粒子在各個區域的時間，即可求第（3）問中的粒子由A點飛出到返回A點所用的時間

解答 解：（1）根據動能定理，有：
$q{U}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-0$
解得：${U}_{1}^{\;}=\frac{m{v}_{0}^{2}}{2q}$
（2）粒子在電壓為${U}_{2}^{\;}$的平行板中做類平拋運動，根據牛頓第二定律：$a=\frac{q{U}_{2}^{\;}}{md}$
水平方向：$d={v}_{0}^{\;}t$
豎直方向：$\fracp9vv5xb5{2}=\frac{1}{2}\frac{q{U}_{2}^{\;}}{md}{t}_{\;}^{2}$
聯立得：${U}_{2}^{\;}=\frac{m{v}_{0}^{2}}{q}$
豎直分速度為：${v}_{y}^{\;}=at=\frac{q{U}_{2}^{\;}}{md}×\fracp9vv5xb5{{v}_{0}^{\;}}$=${v}_{0}^{\;}$
所以飛出平行板電容器2時的速度大小為：$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{2}{v}_{0}^{\;}$
飛出平行板電容器2時的速度方向與水平方向的夾角為θ，$tanθ=\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}=1$，得θ=45°
（3）要使粒子回到出發點O，微粒在偏轉磁場中運動軌跡必須關于偏轉極板的軸線對稱，畫出軌跡，

設軌道半徑為R，則有
$R=\frac{\fracp9vv5xb5{2}}{cos45°}=\frac{\sqrt{2}d}{2}$
由$R=\frac{mv}{qB}$，得$B=\frac{mv}{qR}=\frac{m\sqrt{2}{v}_{0}^{\;}}{q\frac{\sqrt{2}}{2}d}=\frac{2m{v}_{0}^{\;}}{qd}$
磁場寬度L≥R+Rcos45°=$（2+\sqrt{2}）\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$
（4）在電壓為${U}_{1}^{\;}$的平行板電容器中運動時間${t}_{1}^{\;}=\fracp9vv5xb5{\frac{{v}_{0}^{\;}}{2}}=\frac{2d}{{v}_{0}^{\;}}$
在電壓為${U}_{2}^{\;}$的平行板電容器運動時間${t}_{2}^{\;}=\fracp9vv5xb5{{v}_{0}^{\;}}$
在勻強磁場中運動的時間${t}_{3}^{\;}=\frac{3}{4}×\frac{2πR}{v}=\frac{3}{4}×\frac{2π}{\sqrt{2}{v}_{0}^{\;}}×\frac{\sqrt{2}d}{2}=\frac{3πd}{4{v}_{0}^{\;}}$
第（3）問中的粒子由A點飛出到返回A點所用的時間$t=2{t}_{1}^{\;}+2{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}=（6+\frac{3π}{4}）\fracp9vv5xb5{{v}_{0}^{\;}}$
答：（1）平行板電容器1的電壓${U}_{1}^{\;}$為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2q}$；
（2）飛出平行板電容器2時的速度大小$\sqrt{2}{v}_{0}^{\;}$及平行板電容器2的電壓${U}_{2}^{\;}$為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{q}$；
（3）若經過一段時間后，適當調整U₂的正負極而大小不變，粒子還能夠回到A點，磁場的磁感應強度B的大小$\frac{2m{v}_{0}^{\;}}{qd}$；磁場寬度L滿足的條件$L≥（2+\sqrt{2}）\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$；
（4）試求第（3）問中的粒子由A點飛出到返回A點所用的時間$（6+\frac{3π}{4}）\fracp9vv5xb5{{v}_{0}^{\;}}$

點評 本題是帶電粒子在組合場中運動的問題，關鍵是分析粒子的受力情況和運動情況，用力學的方法處理，要準確畫出臨界軌跡，由幾何關系求軌跡半徑．