Question

假設站在赤道某地的人，恰能在日落后4小時的時候，恰觀察到一顆自己頭頂上空被陽光照亮的人造地球衛星，若該衛星是在赤道所在平面內做勻速圓周運動，又已知地球的同步衛星繞地球運行的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍，試估算此人造地球衛星繞地球運行的周期T為多少天？（ 結果可以帶根號 ）

Answer 1

分析：作出衛星與地球之間的幾何關系，根據幾何關系確定衛星的軌道半徑為2R．
設此衛星的運行周期為T₁，地球的運行周期為T₂，則地球同步衛星的周期也為T₂，依據常識我們可以知道T₂=24小時．
由 F向心=mω 2r=

GMm

r2

得：ω 2=

GM

r3

所以

ω 12

ω 22

=

r23

r13

=(

6.6R

2R

)3=

6．63

8

所以

ω1

ω2

=

6．63 8

，所以

T1

T2

=

2π ω 1

2π ω 2

=

ω 2

ω 1

=

8 6．63

≈

1

6

也可以根據開普勒第三定律求解，計算更簡單．

解答：解：如圖所示：

太陽光可認為是平行光，O是地心，人開始在A點，這時剛好日落，因為經過24小時地球轉一圈，所以經過4小時，地球轉了60度，即：∠AOC=60°，此時人已經到了B點，衛星在人的正上方C點，太陽光正好能照到衛星，所以根據∠AOC=60°就能確定衛星的軌道半徑為：OC=2OA=2R．
設此衛星的運行周期為T₁，地球的運行周期為T₂，則地球同步衛星的周期也為T₂，依據常識我們可以知道T₂=24小時．
根據開普勒第三定律

T12

T22

=

(2R)3

(6.6R)3

=

8

6．63

所以T1=

8 6．63

T2≈

1

6

天
答：此人造地球衛星繞地球運行的周期為

1

6

天．

點評：這個題的關鍵就是要我們領會到“恰能在日落后4小時的時候，恰觀察到一顆自己頭頂上空被陽光照亮的人造地球衛星”，這句話是用來告訴我們求這顆衛星的軌道半徑的，依據它的軌道半徑的比值關系再求出它的周期與地球周期的比，進而解出它的周期．