Question

（2013?德州二模）如圖甲所示，在直角坐標系0≤x≤L區(qū)域內有沿y軸正方向的勻強電場，右側有個以點（3L，0）為圓心，半徑為L的圓形區(qū)域，圓形區(qū)域與x軸的交點分別為M、N．現有一質量為m，帶電量為ec的電子，從y軸上的A點以速度v₀沿x軸正方向射入電場，飛出電場后恰能從M點進入圓形區(qū)域，速度方向與x軸夾角為30°，電子從M點射入的瞬間在圓形區(qū)域加如圖乙所示周期性變化的磁場（磁場從t=0時刻開始變化，且以垂直于紙面向外為正方向），電子運動一段時間后從N點飛出，速度方向與x軸夾角也為30°．求：

（1）0≤x≤L區(qū)域內勻強電場的場強大小；
（2）A點的縱坐標y_A；
（3）磁場的磁感應強度B．的可能值及磁場的變化周期T．

Answer 1

分析：（1）電子在電場中作類平拋運動，離開電場時電子的速度方向與x軸夾角30°，得到豎直方向分速度v_y．運用運動的分解法研究可知：電子豎直方向上做初速度為零的勻加速運動，水平方向做勻速直線運動，由牛頓第二定律和運動學公式結合可求出勻強電場的場強大小；
（2）電子在電場中運動過程，由位移公式求得豎直方向的側移，電子飛出電場到M點的過程中做勻速直線運動，由幾何關系得到A點的縱坐標y_A；
（3）先根據電子剛飛出時速度的分解，求出電子進入磁場時的速度．電子進入磁場后做勻速圓周運動，畫出軌跡，根據幾何知識求出軌跡半徑的通項，由牛頓第二定律和圓周運動規(guī)律結合求解磁感應強度B的可能值及磁場的變化周期T．

解答： 解：（1）電子在電場中做類平拋運動，運動軌跡如圖所示，由速度關系得：由速度關系解得v_y=v₀tan30°
  水平方向：L=v₀t
  豎直方向：v_y=

eE

m

t
聯(lián)立解得，E=

3 m v 2 0

3eL

（2）電子在電場中做類平拋運動過程，
  y₁=

1

2

?

eE

m

t2
電子飛出電場運動到M的過程中做勻速直線運動，則
  y₂=Ltan30°
故A點的縱坐標y_A=y₁+y₂=

3

2

L
（3）電子進入磁場時的速度為
   v=

v0

cos30°

=

2 3

3

v0
電子在磁場中運動的軌跡如圖乙所示，則幾何知識得
  （2n+1）R=2L（n=0，1，2，…）
電子在磁場中由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得
  evB₀=m

v2

R

解得，B₀=

(2n+1) 3 mv0

3eL

（n=0，1，2，…）
電子在磁場中運動的周期為 T′=

2πm

eB0

由題意得：

T

2

=

T′

6

解得，T=

2 3 πL

3(2n+1)v0

（n=0，1，2，…）
解：（1）0≤x≤L區(qū)域內勻強電場的場強大小是

3 m v 2 0

3eL

；
（2）A點的縱坐標y_A是

3

2

L；
（3）磁場的磁感應強度B的可能值

(2n+1) 3 mv0

3eL

（n=0，1，2，…），磁場的變化周期T為

2 3 πL

3(2n+1)v0

（n=0，1，2，…）．

點評：本題關鍵是：電場中將粒子的運動沿著水平方向和豎直方向正交分解，然后根據牛頓運動定律和運動學公式列式分析求解；磁場中，要畫出軌跡圖分析，特別是第三小題，要抓住周期性，根據幾何關系求解電子的半徑滿足的條件．