Question

12．如圖所示，半徑為R的均質球質量為M，球心在O點，現在被內切的挖去了一個半徑為$\frac{R}{2}$的球形空腔（球心在O′）．在O、O′的連線上距離O點為d的地方放有一個很小的、質量為m的物體，試求這兩個物體之間的萬有引力．

Answer 1

分析 應用“填補法”先將空腔填滿，然后應用萬有引力定律分別求出m受到的萬有引力，最后求和即可．

解答 解：
空腔里現在雖然空無一物，但可以看成是兩個半徑為$\frac{1}{2}$R的球的疊加：一個的質量為+$\frac{1}{8}$M，一個的質量為-$\frac{1}{8}$M．然后，前者正好填補空腔--和被挖除后剩下的部分構成一個完整的均質球A；注意后者，雖然是一個比較特殊的物體（質量為負值），但仍然是一個均質的球體，命名為B．
既然A、B兩物均為均質球體，他們各自和右邊小物體之間的萬有引力，就可以使用“拓展條件”中的定勢來計算了．只是有一點需要說明，B物的質量既然負值，它和m之間的萬有“引力”在方向上不再表現為吸引，而應為排斥--成了“萬有斥力”了．具體過程如下F_Am=G$\frac{Mm}{d^2}$F_Bm=G$\frac{{-\frac{M}{8}•m}}{{{{（{d-\frac{R}{2}}）}^2}}}$=-G$\frac{Mm}{{8{{（d-\frac{R}{2}）}^2}}}$
最后，兩物之間的萬有引力 F=F_Am+F_Bm=G$\frac{Mm}{d^2}$-G$\frac{Mm}{{8{{（d-\frac{R}{2}）}^2}}}$
答：這兩個物體之間的萬有引力是G$\frac{Mm}{d^2}$-G$\frac{Mm}{{8{{（d-\frac{R}{2}）}^2}}}$．

點評 需要指出的是，在一部分同學的心目中，可能還會存在另一種解題思路，那就是先通過力矩平衡求被挖除物體的重心（仍然要用到“填補法”、負質量物體的重力反向等），它將在O、O′的連線上距離O點左側$\frac{1}{14}$R處，然后“一步到位”地求被挖除物與m的萬有引力F=G$\frac{{\frac{M}{7}•m}}{{{{（d+\frac{R}{14}）}^2}}}$然而，這種求法違背了萬有引力定律適用的條件，是一種錯誤的思路．