Question

3．三段繩子OA．OB．OC如圖所示連接，結點為O，OC繩掛質量為m的重物，OA接天花板上與豎直方向成30°角，OB接在豎直墻壁上且水平，求：
（1）OA和OB繩子的拉力大小
（2）假設三段繩子能承受的最大拉力為100N，為保證所有繩   子不拉斷，OC所掛重物的質量最大為多少（g=10m/s²）
（3）在OC繩掛上（2）中算出的最大質量重物，保持OA方向不變，O點位置不變，OB繩子長度可變且B端可以沿豎直墻壁向上自由移動，當OB繩中拉力最小時，求OA和OB繩子的拉力大小（g=10m/s²）

Answer 1

分析 （1）對繩子結點O進行受力分析，根據共點力的平衡條件計算；
（2）只要OA不被拉斷，則所有繩子都不會拉斷，根據OA拉力表達式計算最大質量；
（3）當OB繩子拉力最小時，OB繩與OA繩垂直，根據幾何關系求解拉力大小．

解答 解：（1）對繩子結點O進行受力分析，如圖所示．
則OA與OB二力的合力與OC的拉力大小相等，方向相反；
F_OAsinθ=F_OBF…①
F_OAcosθ=F_OC=G…②
代入已知數據解得OA、OB兩繩的拉力F_OA、F_OB分別為：
F_OA=$\frac{mg}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}mg$，F_OB=mgtanθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}mg$；
（2）只要OA不被拉斷，則所有繩子都不會拉斷，則：
F_OA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}mg$=100N，
解得：m=$5\sqrt{3}kg$；
（3）當OB繩子拉力最小時，OB繩與OA繩垂直，如圖所示：
根據幾何關系可得：$F{′}_{OB}=mgsinθ=\frac{1}{2}mg$=$25\sqrt{3}N$；
$F{′}_{OA}=mgcosθ=\frac{\sqrt{3}}{2}mg$=75N．
答：（1）OA和OB繩子的拉力大小分別為$\frac{2\sqrt{3}}{3}mg$，$\frac{\sqrt{3}}{3}mg$；
（2）OC所掛重物的質量最大為$5\sqrt{3}kg$；
（3）當OB繩中拉力最小時，OA和OB繩子的拉力大小分別為$25\sqrt{3}N$、75N．

點評 本題主要是考查了共點力的平衡問題，解答此類問題的一般步驟是：確定研究對象、進行受力分析、利用平行四邊形法則進行力的合成或者是正交分解法進行力的分解，然后在坐標軸上建立平衡方程進行解答．