Question

地球和某行星在同一軌道平面內同向繞太陽做勻速圓周運動．地球的軌道半徑為R，運轉周期為T．地球和太陽中心的連線與地球和行星的連線所夾的角叫地球對該行星的觀察視角（簡稱視角）．當行星處于最大視角處時，是地球上的天文愛好者觀察該行星的最佳時期．該行星的最大視角為θ，如圖所示．求該行星的軌道半徑和運轉周期．

Answer 1

分析：根據題意知道當行星處于最大視角處時，地球和行星的連線應與行星軌道相切，運用幾何關系求解軌道半徑．
地球與某行星圍繞太陽做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力分別列出等式，解出周期，然后兩個周期相比求解．

解答：解：由幾何知識可知，當視線與行星軌道相切時視角最大，所以行星軌道半徑r=Rsinθ；
設太陽質量為M，地球周期為T，行星周期為T₁，
對地球：G

Mm

R2

=m(

2π

T

)2R
對行星：G

Mm′

r2

=m′(

2π

T

)2r
聯立解之得T₁=T

sin3θ

答：該行星的軌道半徑為Rsinθ，運轉周期為T

sin3θ

．

點評：向心力的公式選取要根據題目提供的已知物理量或要求解的物理量選取應用．要注意物理問題經常要結合數學幾何關系解決．正確作圖是解題的關鍵．