Question

高h=5m的平臺上有一個質量m=1kg的小球以初速度v₀沿水平方向拋出，另一側是一個截面為拋物線的坡面．如圖所示，若以平臺右側底端的O點為原點建立坐標系Oxy，坡面的方程為y=

1

5

x²（單位：m），取g=10m/s²
（1）若小球的初速度v₀=

2

m/s，求小球從拋出到落到坡面的時間；
（2）若要使小球落到坡面的動能最小，則v₀應為多少．

Answer 1

分析：（1）小球做平拋運動，由平拋運動規律求出其水平與豎直位移，然后根據坡面方程求出小球的運動時間；
（2）由動能定理求出小球落地是的動能表達式，然后求出小球動能最小時的初速度．

解答：解：（1）小球做平拋運動，
水平方向：x=v₀t    ①，
豎直方向：H=

1

2

gt²  ②，
根據幾何關系有：y=h-H
坡面的方程為：y=

1

5

x²，
即：h-

1

2

gt²=

1

5

x²   ③
由①②③可解得：y=

2h v 2 0

5g+2 v 2 0

  ④，
小球的運動時間：
t=

10h 2 v 2 0 +5g

=

10×5 2×( 2 )2+5×10

=

5 3

9

s；
（2）由動能定理得：mgy=

1

2

mv²-

1

2

mv₀² ⑤，
由④⑤解得，末動能：E_K=

1

2

mv²=

2mgh v 2 0

5g+2 v 2 0

+

1

2

mv₀²，
設v₀²=ng，則E_K=mg（

10n

5+2n

+

1

2

n），當n=7.5，
即v₀²=ng=7.5×10=75，v₀=5

3

m/s時，小球的動能最小；
答：（1）若小球的初速度v₀=

2

m/s，小球從拋出到落到坡面的時間為

5 3

9

s；
（2）若要使小球落到坡面的動能最小，則v₀應為5

3

m/s．

點評：本題主要考查平拋運動和動能定理的應用，以及函數最值的計算，意在考查考生的綜合分析及數學計算能力．