Question

10．宇宙飛船以周期為T繞地球作圓周運動時，由于地球遮擋陽光，會經歷“日全食”過程，如圖所示．已知地球的半徑為R，引力常量為G，地球自轉周期為T₀，太陽光可看作平行光，宇航員在軌道上A點測出的張角為α，則（　　）

• A． 飛船繞地球運動的線速度為$\frac{2πR}{Tsin（\frac{α}{2}）}$
• B． 一天內飛船經歷“日全食”的次數為$\frac{{T}_{0}}{T}$
• C． 飛船每次“日全食”過程的時間為$\frac{αT}{π}$
• D． 地球密度為$\frac{3π}{G{T}^{2}}$

Answer 1

分析 宇宙飛船繞地球做勻速圓周運動，由飛船的周期及半徑可求出飛船的線速度；同時由萬有引力提供向心力的表達式，可列出周期與半徑及角度α的關系．當飛船進入地球的影子后出現“日全食”到離開陰影后結束，所以算出在陰影里轉動的角度，即可求出發生一次“日全食”的時間；由地球的自轉時間與宇宙飛船的轉動周期，可求出一天內飛船發生“日全食”的次數．

解答 解：A、飛船繞地球勻速圓周運動，
所以線速度為v=$\frac{2πr}{T}$
又由幾何關系知$sin\frac{α}{2}=\frac{R}{r}$
所以 $v=\frac{2πR}{Tsin\frac{α}{2}}$ 故A正確；
B、地球自轉一圈時間為To，飛船繞地球一圈時間為T，飛船繞一圈會有一次日全食，所以每過時間T就有一次日全食，得一天內飛船經歷“日全食”的次數為$\frac{{T}_{0}^{\;}}{T}$． 故B正確；
C、由幾何關系，飛船每次“日全食”過程的時間內飛船轉過α角，所需的時間為t=$\frac{π-α}{2π}T$；故C錯誤；
D、萬有引力提供向心力則
所以：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$=$\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}si{n}_{\;}^{3}\frac{α}{2}}$
所以：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}si{n}_{\;}^{3}\frac{α}{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}$=$\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}si{n}_{\;}^{3}\frac{α}{2}}$，故D錯誤；
故選：AB．

點評 掌握勻速圓周運動中線速度、角速度及半徑的關系，同時理解萬有引力定律，并利用幾何關系得出轉動的角度．