Question

5．如圖所示，質量M=8.0kg、長L=2.0m的薄木板靜置在光滑水平地面上，且木板不固定．質量m=0.40kg的小滑塊（可視為質點）以速度v₀從木板的左端沖上木板．已知滑塊與木板間的動摩擦因數μ=0.20，（假定滑塊與木板之間最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等，重力加速度g取10m/s²．）
（1）若v₀=2.1m/s，從小滑塊滑上長木板，到小滑塊與長木板相對靜止，小滑塊的位移是多少？
（2）若v₀=3.0m/s，在小滑塊沖上木板的同時，對木板施加一個水平向右的恒力F，如果要使滑塊不從木板上掉下，力F應滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律分別求出小滑塊m和木板M的加速度，再根據相對靜止時速度相等相等列式，求出時間，最后由位移時間公式求小滑塊的位移．
（2）分兩種臨界情況研究：①設當F=F₁時，滑塊恰好運動到木板的右端，然后與木板一起運動．在滑塊與木板有相對滑動的這段時間內，滑塊做勻減速直線運動，木板做勻加速直線運動．根據兩者位移之差等于板長，由位移時間公式列式，求出時間，由速度公式求出木板的加速度，即可由牛頓第二定律求出F．
②當滑塊與木板共速后，只要不發生相對滑動，滑塊就不會從木板的左端滑出．根據牛頓第二定律得到滑塊與木板共同運動的加速度，求得滑塊在靜摩擦力的作用下能達到的最大加速度，聯立求得F，從而得到F的范圍．

解答 解：（1）分析m的受力，由牛頓第二定律有：a₁=$\frac{μmg}{m}$=μg=2m/s²．
分析M的受力，由牛頓第二定律有：a₂=$\frac{μmg}{M}$=$\frac{0.2×0.4×10}{8}$=0.1m/s²．
設經過時間t兩者速度相同．則有：v₀-a₁t=a₂t
代入數據，可得：t=1s 
相對靜止的共同速度為：v=a₂t=0.1×1=0.1m/s
所以小滑塊的位移為：S=$\frac{{v}_{0}+v}{2}t$=$\frac{2.1+0.1}{2}×1$=1.1m
（2）①設當F=F₁時，滑塊恰好運動到木板的右端，然后與木板一起運動．在滑塊與木板有相對滑動的這段時間內，滑塊做勻減速直線運動，木板做勻加速直線運動．設這段時間為t₁，滑塊與木板共同運動的速度為v₁，則有：x_塊=$\frac{{v}_{0}+{v}_{1}}{2}{t}_{1}$
x_板=$\frac{{v}_{1}}{2}{t}_{1}$
且有：x_塊-x_板=L
所以解得：t₁=$\frac{4}{3}$s
有：v₁=v₀-a₁t₁=3-2×$\frac{4}{3}$=$\frac{1}{3}$m/s
所以木板的加速度為：a_板=$\frac{{v}_{1}}{{t}_{1}}$=$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}}$=0.25m/s²
對木板，根據牛頓第二定律有：F₁+μmg=Ma_板
 所以有：F₁=1.2N
所以，當F＞1.2N時，滑塊不會從木板的右端滑出．
②當滑塊與木板共速后，只要不發生相對滑動，滑塊就不會從木板的左端滑出，根據牛頓第二定律得滑塊與木板共同運動的加速度為：a₁=$\frac{{F}_{2}}{M+m}$
而滑塊在靜摩擦力的作用下，能達到的最大加速度 a₂=μg．因此，滑塊不從木板左端滑出需滿足的條件為：a₂≥a₁
即得：F₂≤16.8N
所以滑塊不從木板掉下的條件是 1.2N≤F≤16.8N．
答：（1）小滑塊的位移是1.1m．
（2）要使滑塊不從木板上掉下，力F應滿足的條件是 1.2N≤F≤16.8N．

點評 解決本題的關鍵理清木板和木塊的運動規律，結合牛頓第二定律和運動學公式，抓住它們的位移關系和速度關系進行求解，知道加速度是聯系力學和運動學的橋梁．