Question

【題目】2019年4月10日21點，天文學家在全球六地（比利時布魯塞爾、智利圣地亞哥、中國上海和臺北、日本東京、美國華盛頓）同步發布了人類首張黑洞照片。探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統的運動規律。天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時，發現了LMCX﹣3雙星系統，它由可見星A和不可見的暗星B構成．將兩星視為質點，不考慮其他天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，如圖所示．引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率v和運行周期T．

（1）可見星A所受暗星B的引力FA可等效為位于O點處質量為m′的星體（視為質點）對它的引力，設A和B的質量分別為m1、m2，試求m′（用m1、m2表示）；

（2）求暗星B的質量m2與可見星A的速率v、運行周期T和質量m1之間的關系式；

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設A、B的圓軌道半徑分別為，A、B做勻速圓周運動的角速度相同，其為。

由牛頓運動定律：

設A、B之間的距離為r，又

由上述各式得：，①

由萬有引力定律，得

將①代入得

令，比較可得：②

（2）由牛頓第二定律，有：③，

又可見星A的軌道半徑為：④，

由②③④式可得，