Question

有一種叫做“翻滾過山車”的娛樂設施，載有乘客的列車從斜軌道的最高處沿軌道自由滾下，由重力勢能轉(zhuǎn)化的動能使過山車能夠沖過一個豎直方向的圓形軌道，讓游客領略到一種新奇的感覺.設圓形軌道的半徑R=13m，如果有一單節(jié)車廂的過山車（可視為質(zhì)點）從高處滾下，不考慮摩擦和空氣阻力，要使過山車能沿軌道通過圓弧的最高點，至少應使它在斜軌上離地多高處由靜止開始滾下？

Answer 1

解析：可以逆向思維尋找解題思路.過山車通過離心軌道最高點的向心力一般由重力和軌道對小球的壓力的合力提供，重力恒定不變，通過最高點的速度越小，其所需的向心力也越小，軌道的壓力也越小，速度小到某一數(shù)值時，軌道的壓力為零，向心力完全由重力提供.如果速度再小，則過山車脫離軌道，所以過山車速度有不可逾越的最小值.由于過山車運動過程機械能守恒，故從斜軌道的最高處沿軌道自由滾下時，必須對應

一個不能逾越的最小高度.由此思路結合機械能守恒定律以及牛頓第二定律知識求解即可.

過山車運動過程中受重力和軌道的彈力，彈力始終垂直于過山車的速度（位移），不做功，故機械能守恒.設過山車（質(zhì)量為m）從離地h高處從靜止開始滾下，則其初始狀態(tài)機械能為E₁=mgh，在軌道圓弧最高時的機械能E₂=mg·2R+mv²，由機械能守恒定律E₂=E₁可得

mg2R+mv²=mgh  則h=+2R①

①式表示過山車開始滑下的高度h與它滑至圓軌道（離心軌道）最高點時的速度v之間的關系.要求出過山車開始滑下的最小高度，就需知道它通過離心軌道最高點時不致掉下來的最小速度.

    要使過山車通過軌道最高點而不掉下來，只有重力恰巧提供向心力，其最小速度必須滿足下式：mg=m  v²=gR②

②式代入①式即得所求高度為h=R=×13 m=32.5 m

故要使過山車能沿軌道通過圓弧的最高點，至少應使它在斜軌上離地32.5 m處由靜止開始滾下.