Question

（2012?唐山一模）如圖所示，在直角坐標系x軸上方有與x軸成45°角的勻強電場，場強大小E=10³V/m，在x軸下方有垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度B=1T．現從y軸上距坐標原點L=1Ocm處由靜止釋放一比荷為

2

×104C/kg的帶正電的微粒A，不計微粒的重力．求：
（1）微粒進入磁場后在磁場中運動的軌道半徑；
（2）從釋放微粒到微粒第一次從磁場返回電場所用時間；
（3）若在A第一次返回電場的同時，在電場中適當的位置由靜止釋放另一與A完全相同的帶電微粒B，可使兩微粒在進入磁場前相遇．求出所有滿足條件的釋放點的軌跡方程（不計兩微粒之間的庫侖力）．

Answer 1

分析：（1）根據動能定理求出粒子進入磁場時的速度，再根據洛倫茲力提供向心力求出粒子在磁場中運動的軌道半徑．
（2）根據勻變速直線運動的公式，求出帶電粒子在電場中做勻加速直線運動的時間，根據幾何關系，知粒子在磁場中運動

3

4

T，根據周期公式求出粒子在磁場中運動的周期，從而求出從釋放微粒到微粒第一次從磁場返回電場所用時間．
（3）微粒從P點進入磁場后做類平拋運動，如圖，由于微粒B與A完全相同，所以只需在微粒離開磁場時速度方向的直線上的PQ范圍內任一點釋放微粒B，可保證兩者在進入磁場前相碰．求出直線的方程．

解答：解：（1）微粒在進入磁場前做勻加速運動，設微粒質量為m，帶電量為q，進入磁場時速度為v，則：

1

2

mv2=

2

qEL
微粒進入磁場后做勻速圓周運動，設軌道半徑為R，則：
qvB=m

v2

R

代入數值可解得：
R=

2

10

m
（2）由此可作出微粒的運動軌跡如圖所示．微粒在磁場中運動

3

4

圓周后從P點進入電場．設微粒從釋放到進入電場之前所用時間為t，則：
t1=

2 L

v 2

T=

2πm

qB

而t=t1+

3

4

×

2πm

qB

 
代入數值可得：t=(

2

+

3 2 π

4

)×10-4s．
（3）微粒從P點進入磁場后做類平拋運動，設微粒再次進入磁場時距坐標原點為x，如圖所示，則：

.

Px

sin45°=

1

2

qE

m

t22

.

Px

cos45°=vt2
代入數值可解得

.

Px

=0.8m．
由于微粒B與A完全相同，所以只需在微粒離開磁場時速度方向的直線上的PQ范圍內任一點釋放微粒B，可保證兩者在進入磁場前相碰．
由幾何關系得，P點的橫坐標為-10cm，Q點的橫坐標為30cm．
即在直線y=x+10 （-10≤x≤30）上式任意一點釋放微粒B都能滿足要求．
答：（1）微粒進入磁場后在磁場中運動的軌道半徑為

2

10

m．
（2）從釋放微粒到微粒第一次從磁場返回電場所用時間t=(

2

+

3 2 π

4

)×10-4s．
（3）所有滿足條件的釋放點的軌跡方程為y=x+10 （-10≤x≤30）．

點評：解決本題的關鍵知道粒子在電場中先做勻加速直線運動，然后在磁場中做勻速圓周運動，再進入電場做類平拋運動，根據牛頓第二定律、動能定理，結合運動學公式進行求解．