Question

14．光滑曲面AB與滑動摩擦系數μ=0.4的粗糙水平面BC相切于B點，如圖所示．圖中S_BC=0.5m，用細線拴一質量m=1kg小球Q，細線長L=1.5m，細線的另一端懸于O點．球Q在C點時，對C點無壓力．質量與Q相等的小球P自高h=1.0m處沿曲面AB由靜止開始滑下，在水平面上與球Q正碰，若碰撞過程中無機械能損失．（g取10m/s²）
（1）P與Q第一次碰撞后，小球Q上升的最大高度；
（2）小球P與Q最多能碰撞幾次？

Answer 1

分析 （1）P球從開始下滑到碰撞前的過程，運用動能定理可求得碰撞前的速度，由于碰撞過程中無機械能損失，所以碰撞中動量守恒，機械能也守恒，由此列式求出碰后Q的速度．再對碰后Q上升的過程，運用機械能守恒定律求小球Q上升的最大高度；
（2）在兩球碰撞過程中速度交換，由能量守恒定律可求出小球在BC段運動的總路程，再由幾何關系求碰撞的次數．

解答 解：（1）P球從開始下滑到碰撞前的過程，運用動能定理得
   mgh-μmgS_BC=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
P球和Q球在碰撞過程中，取向右為正方向，由動量守恒定律和能量守恒定律得
   mv₀=mv_P+mv_Q
由機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv_P²+$\frac{1}{2}$mv_Q²
解得：v_P=0，v_Q=v₀．
設P與Q第一次碰撞后小球Q上升的最大高度為H．
對Q，由機械能守恒定律得
   $\frac{1}{2}$mv_Q²=mgH
聯立解得 H=0.8m
（2）以P球和Q球為系統，從P球開始下滑至P球靜止的過程中，由能量守恒定律得
   mgh-μmgs=0
解得，P球在BC段滑行的總路程 s=2.5m
則n=1+$\frac{2.5-0.5}{2×0.5}$=3次
所以兩球碰撞三次
答：
（1）P與Q第一次碰撞后，小球Q上升的最大高度是0.8m；
（2）小球P與Q最多能碰撞3次．

點評 解決本題時要明確彈性碰撞遵守兩大守恒定律：動量守恒定律和能量守恒定律，質量相等的兩球發生彈性碰撞時會交換速度．