Question

10．電磁彈射是我國最新研究的重大科技項目，原理可用下述模型說明．如圖甲所示，虛線MN右側存在一個豎直向上的勻強磁場，一邊長L的正方形單匝金屬線框abcd放在光滑水平面上，電阻為R，質量為m，ab邊在磁場外側緊靠MN虛線邊界．t=0時起磁感應強度B隨時間t的變化規律是B=B₀+kt（k為大于零的常數），空氣阻力忽略不計．

（1）求t=0時刻，線框中的感應電流I及其功率P；
（2）若線框cd邊穿出磁場時速度為v，求線框穿出磁場過程中，安培力對線框所做的功W及通過導線截面的電荷量q；
（3）若用相同的金屬線繞制相同大小的n匝線框，如圖乙所示，在線框上加一質量為M的負載物，求t=0時線框加速度的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）根據法拉第電磁感應定律，結合功率表達式，即可求解；
（2）根據動能定理，與法拉第電磁感應定律求得平均電動勢，及閉合電路歐姆定律，電量表達式，從而即可求解；
（3）根據感應電動勢與感應電流值，依據安培力表達式，及牛頓第二定律

解答 解：（1）t=0時刻線框中的感應電動勢 ${E}_{0}^{\;}=\frac{△B}{△t}{L}_{\;}^{2}$
功率 $P=\frac{{E}_{0}^{2}}{R}$
解得$P=\frac{{k}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{4}}{R}$
（2）由動能定理有$W=△{E}_{k}^{\;}$
解得$W=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
穿出過程線框中的平均電動勢$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}$
線框中的電流$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R}$
通過的電量$q=\overline{I}•△t$
解得$q=\frac{{B}_{0}^{\;}{L}_{\;}^{2}}{R}$
（3）n匝線框中t=0時刻產生的感應電動勢$E=n\frac{△Φ}{△t}$
線框的總電阻R_總=nR                          
線框中的電流$I=\frac{E}{{R}_{總}^{\;}}$
t=0時刻線框受到的安培力$F=n{B}_{0}^{\;}IL$
設線框的加速度為a，根據牛頓第二定律有F=（nm+M）a
解得$a=\frac{k{B}_{0}^{\;}{L}_{\;}^{3}}{（\frac{M}{n}+m）R}$
答：（1）t=0時刻，線框中的感應電流I及其功率P為$\frac{{k}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{4}}{R}$；
（2）若線框cd邊穿出磁場時速度為v，線框穿出磁場過程中，安培力對線框所做的功W及通過導線截面的電荷量q為$\frac{{B}_{0}^{\;}{L}_{\;}^{2}}{R}$；
（3）若用相同的金屬線繞制相同大小的n匝線框，如圖乙所示，在線框上加一質量為M的負載物，t=0時線框加速度的大小$\frac{k{B}_{0}^{\;}{L}_{\;}^{2}}{（\frac{M}{n}+m）R}$，方向水平向左

點評 考查法拉第電磁感應定律與閉合電路歐姆定律的內容，掌握動能定理與牛頓第二定律的應用，理解電量的綜合表達式的推導，注意安培力大小與匝數有關．