Question

20．如圖是阿毛同學的漫畫中出現的裝置，描述了一個“吃貨”用來做“糖炒栗子”的“萌”事兒：將板栗在地面小平臺上以一定的初速經兩個四分之一圓弧銜接而成的軌道，從最高點P飛出進入炒鍋內，利用來回運動使其均勻受熱．我們用質量為m的小滑塊代替栗子，借這套裝置來研究一些物理問題．設大小兩個四分之一圓弧半徑為2R和R，小平臺和圓弧均光滑．將過鍋底的縱截面看作是兩個斜面AB、CD和一段光滑圓弧組成．斜面動摩擦因數均為0.25，而且不隨溫度變化．兩斜面傾角均為θ=37°，AB=CD=2R，A、D等高，D端固定一小擋板，碰撞不損失機械能．滑塊的運動始終在包括鍋底最低點的豎直平面內，重力加速度為g 
（1）如果滑塊恰好能經P點飛出，為了使滑塊恰好沿AB斜面進入鍋內，應調節鍋底支架高度使斜面的A、D點離地高為多少？
（2）接（1）問，求滑塊在鍋內斜面上走過的總路程．
（3）對滑塊的不同初速度，求其通過最高點P和小圓弧最低點Q時受壓力之差的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律求出滑塊恰好到達P點的速度，根據速度方向與斜面AB平行，結合平拋運動的規律，運用平行四邊形定則求出豎直分速度，從而得出AD離地的高度．
（2）根據平行四邊形定則求出進入A點時滑塊的速度，對全過程運用動能定理，求出滑塊在鍋內斜面上走過的總路程．
（3）根據牛頓第二定律分別求出P、Q的彈力，結合機械能守恒定律得出壓力差，結合最高點的最小速度求出壓力之差的最小值．

解答 解：（1）在P點 $mg=m\frac{{{v}_{P}}^{2}}{2R}$，解得${v}_{P}=\sqrt{2gR}$．
到達A點時速度方向要沿著AB，${v}_{y}={v}_{P}tanθ=\frac{3}{4}\sqrt{2gR}$．
所以AD離地高度為$h=3R-\frac{{{v}_{y}}^{2}}{2g}$=$\frac{39}{16}R$．
（2）進入A點滑塊的速度為$v=\frac{{v}_{P}}{cosθ}$，
假設經過一個來回能夠回到A點，設回來時動能為E_k，
${E}_{K}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-4μmgcosθ•8R＜0$，
所以滑塊不會滑到A而飛出．    
根據動能定理得，$0-\frac{1}{2}m{v}^{2}=mg•2Rsinθ-μmgcosθs$，
代入數據解得，1.2mgR-0.2mgs=-$\frac{25}{16}$
解得滑塊在鍋內斜面上走過得總路程$s=\frac{221R}{16}$．
（3）設初速度、最高點速度分別為v₁、v₂，
由牛二定律，在Q點，${F}_{1}-mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，解得${F}_{1}=mg+m\frac{{v}^{2}}{R}$
在P點，${F}_{2}+mg=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2R}$．解得${F}_{2}=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2R}-mg$
所以${F}_{1}-{F}_{2}=2mg+\frac{m（2{{v}_{1}}^{2}-{{v}_{2}}^{2}）}{2R}$．
由機械能守恒得，$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}+mg•3R$，
得${{v}_{1}}^{2}-{{v}_{2}}^{2}=6mgR$為定值．
代入v₂的最小值$\sqrt{2gR}$，得壓力差的最小值為9mg．
答：（1）應調節鍋底支架高度使斜面的A、D點離地高為$\frac{39}{16}R$；
（2）滑塊在鍋內斜面上走過的總路程為$\frac{221R}{16}$．
（3）通過最高點P和小圓弧最低點Q時受壓力之差的最小值為9mg．

點評 本題主要考查了平拋運動、動能定理及機械能守恒、牛頓運動定律等基本規律的應用，綜合性較強，對學生的能力要求較高，是一道好題．