Question

9．如圖所示，兩條金屬導軌相距L=1m，水平部分處在豎直向下的勻強磁場B₁中，其中MN段平行于PQ段，位于同一水平面內，NN₀段與QQ₀段平行，位于與水平面成傾角37°的斜面內．在水平導軌區域和傾斜導軌區域內分別有垂直于水平面和斜面的勻強磁場B₁和B₂，且B₁=B₂=0.5T；ab和cd是質量均為m=0.2kg、電阻分別為R_ab=0.5Ω和R_cd=1.5Ω的兩根金屬棒，ab與水平導軌間的動摩擦因數μ=0.5，傾斜導軌光滑，ab、cd均與導軌垂直且接觸良好．從t=0時刻起，ab棒在水平外力F₁作用下由靜止開始以a=2m/s²的加速度向右做勻加速直線運動，cd棒在平行于斜面方向的力F₂的作用下保持靜止狀態．不計導軌的電阻．水平導軌足夠長，ab棒始終在水平導軌上運動，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²．求：
（1）t=5s時，cd棒消耗的電功率；
（2）規定圖示F₁、F₂方向作為力的正方向，分別求出F₁、F₂隨時間t變化的函數關系；
（3）若改變F₁和F₂的作用規律，使ab棒的運動速度v與位移x滿足V=0.4x，cd棒仍然靜止在傾斜軌道上，求ab棒從靜止開始到x=5m的過程中，F₁所做的功W．

Answer 1

分析 （1）MN向右運動切割磁感線產生感應電動勢，相當于電源，PQ相當于外電路．要求PQ消耗的功率，要先MN產生的感應電動勢，由歐姆定律求出電路中電流，即可求得功率．
（2）先根據法拉第電磁感應定律和歐姆定律得出電路中電流與時間的關系式，求F₁可對MN運用牛頓第二定律，求F₂可對PQ根據平衡條件求解．
（3）由題v=0.4x，速度v與位移x成正比，可知電流I、安培力也與位移x成正比，可安培力的平均值求解安培力做的功，再對MN棒運用動能定理求解F₁所做的功

解答 解：（1）金屬棒ab在5s時的速度
ν_t=at=2×5m/s=10m/s
電動勢　E=BLν_t=0.5×1×10V=5V
此時電流　I=$\frac{E}{{R}_{ab}+{R}_{cd}}$=$\frac{5}{0.5+1.5}$A=2.5A
所以：P_cd=I²R_cd=2.5²×1.5W≈9.38W
（2）金屬棒ab在做勻加速直線運動的過程中，電流和時間的關系為I=${\frac{BLv}{{R}_{ab}+{R}_{cd}}}_{\;}$=$\frac{BLat}{{R}_{ab}+{R}_{cd}}$=$\frac{0.5×1×2t}{0.5+1.5}$=0.5t（A）
對金屬棒ab由牛頓第二定律有：F₁-B₁IL-μmg=ma
得：F₁=1.4+0.25t（N）
對金屬棒cd由平衡條件有：F₂+B₂IL-mgsin37°=0
得：F₂=1.2-0.25t（N）
（3）ab棒做變加速直線運動，當x=5m時，
ν_t=0.4×5=2（m/s）
因為速度與位移成正比，所以電流、安培力也與位移成正比，
F安=B₁IL=$\frac{{B}_{1}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{ab}+{R}_{cd}}$=$\frac{0．{5}^{2}×1×0.4x}{0.5+1.5}$=0.05x（N）
則平均安培力為：
$\overline{{F}_{安}}$=$\frac{0.05×5}{2}$=0.125N；
所以，
W_安=-F_安×5=-0.125×5=-0.625J；
根據動能定理，得W_F1+W_安-μm gx=$\frac{1}{2}$mv_t²-0
所以，W_F1=$\frac{1}{2}$mv_t²-W_安+μmgx
解得：W_F1=6.025J．
答：（1）t=5s時，PQ消耗的電功率為9.38W；
（2）F₁隨時間t變化的函數關系為F₁=（1.4+0.25t）N，F₂隨時間t變化的函數關系為F₂=（1.2-0.25t）N；
（3）MN棒從靜止開始到s=5m的過程中，F₁所做的功為6.025J

點評 本題是雙桿類型，分別研究它們的情況是基礎，運用力學和電路、電磁感應的規律研究MN棒，對于功，動能定理是常用的求解方法，本題關鍵要抓住安培力與位移是線性關系，安培力的平均值等于初末時刻的平均值．