Question

13．質量M=10kg的缸體與質量m=4kg的活塞，封閉一定質量的理想氣體（氣體的重力可以忽略），不漏氣的活塞被一勁度系數k=20N/cm的輕彈簧豎直向上舉起立于空中，如圖所示，環境溫度為T₁=1500K時被封氣柱長度L₁=30cm，缸口離地的高度為h=5cm，若環境溫度變化時，缸體有良好的導熱性能．已知活塞與缸壁間無摩擦，彈簧原長L₀=27cm，活塞橫截面積S=2×10^-3  m²，大氣壓強P₀=1.0×10⁵Pa，當地重力加速度g=10m/s²，求①環境溫度降到多少時汽缸著地；②溫度降到多少時能使彈簧恢復原長．

Answer 1

分析 ①對汽缸利用平衡可求出氣體壓強，氣缸內氣體發生的是等壓變化，應用蓋-呂薩克定律求出氣體的溫度；
②應用理想氣體狀態方程求出彈簧恢復原長時缸內氣體的溫度

解答 解：①因汽缸懸空，先降溫時氣體等壓變化，壓強恒為${p}_{1}^{\;}={p}_{0}^{\;}+\frac{Mg}{S}=1.5{p}_{0}^{\;}$
由蓋-呂薩克定律知$\frac{{L}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{L}_{1}^{\;}-h}{{T}_{2}^{\;}}$
代入數據得：${T}_{2}^{\;}=1250K$
②待缸口著地后，再降溫時活塞上移，彈簧逐漸恢復原長，由kx=（M+m）g知彈簧的形變量為x=7cm
設彈簧恢復原長時的環境溫度為${T}_{3}^{\;}$，氣體壓強為${p}_{3}^{\;}$，氣柱長度為${L}_{3}^{\;}$，由活塞的平衡知${p}_{3}^{\;}={p}_{0}^{\;}-\frac{mg}{S}$=$0.8{p}_{0}^{\;}$
有幾何關系知${L}_{3}^{\;}={L}_{1}^{\;}-x-h=18cm$
由$\frac{{p}_{1}^{\;}{V}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{3}^{\;}{V}_{3}^{\;}}{{T}_{3}^{\;}}$知$\frac{1.5{p}_{0}^{\;}{L}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{0.8{p}_{0}^{\;}{L}_{3}^{\;}}{{T}_{3}^{\;}}$
整理可得：${T}_{3}^{\;}=480K$
答：①環境溫度降到1250K時汽缸著地；
②溫度降到480K時能使彈簧恢復原長

點評 本題是力學與熱學相結合的一道綜合題，應用理想氣體狀態方程與氣體實驗定律即可正確解題，解題時要注意研究對象的選擇．