Question

木星至少有16顆衛星，1610年1月7日伽利略用望遠鏡發現了其中的4顆．這4顆衛星被命名為木衛1、木衛2、木衛3和木衛4．他的這個發現對于打破“地心說”提供了重要的依據．
（1）若將木衛1、木衛2繞木星的運動看作勻速圓周運動，則木衛2的平均軌道半徑大于木衛1的平均軌道半徑．試比較木衛1和木衛2誰的向心加速度大？（請寫出必要的推導過程和運算結果，簡要說明理由）
（2）已知木衛1繞木星運行的平均軌道半徑為R₁，木星的半徑為R₂，木星表面上的重力加速度為g，若不考慮木星的自轉的影響，則可由以上三個量計算出木衛1繞木星運行的線速度．請寫出運行過程和運算結果．

Answer 1

分析：（1）研究衛星繞木星表面做勻速圓周運動，根據萬有引力提供圓周運動所需的向心力，列出等式表示出向心加速度，已知木衛2的軌道半徑大于木衛1的軌道半徑；
（2）根據萬有引力公式求出木衛1繞木星運動的線速度的表達式，再結合木星的黃金代換式即可求解．

解答：解：（1）設木星的質量為M，衛星質量為m，衛星的軌道半徑為R，則有G

Mm

R2

=ma①
∴a=

GM

R2

②
由于木衛1的軌道半徑小于木衛2的軌道半徑，所以木衛1的向心加速度大于木衛2的向心加速度．
（2）設木星的質量為M，木衛1繞木星運動的線速度為v，木衛1的質量為m，則有m

v2

R1

=G

Mm

R 2 1

③
∴v=

GM R1

④
設木星表面一個物體的質量為m′，則有m′g=G

Mm′

R 2 2

⑤
∴g

R

2 2

=GM⑥
⑥式代入④式可得v=R2

g R1

答：（1）木衛1的向心加速度大于木衛2的向心加速度；
（2）木衛1繞木星運行的線速度為R2

g R1

．

點評：要比較一個物理量大小，我們應該把這個物理量先表示出來，在進行比較，向心力的公式選取要根據題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應用．