Question

19．如圖所示，頂角θ=45°的金屬導軌MON固定在水平面內，導軌處在方向豎直、磁感應強度為B的勻強磁場中．一根與ON垂直的導體棒在水平外力作用下以恒定速度υ₀沿導軌MON向右滑動，導體棒的質量為m，導軌與導體棒單位長度的電阻均為r．導體棒與導軌接觸點為a和b，導體棒在滑動過程中始終保持與導軌良好接觸．t=0時，導體棒位于頂角O處．求：

    (1)t時刻流過導體棒的電流強度I和電流方向．

    (2)導體棒作勻速直線運動時水平外力F的表達式．

    (3)導體棒在0～t時間內產生的焦耳熱Q．

    (4)若在t₀時刻將外力F撤去，導體棒最終在導軌上靜止時的坐標x．

Answer 1

  （1）0到t時間內，導體棒的位移     x=v₀t

        t時刻，導體棒的長度          l=x

        導體棒的電動勢               E=Blv₀

        回路總電阻                   R=（2x+x）r

        電流強度                     I=

        電流方向  b→a

  （2）F=BlI=

  （3）解法一

t時刻導體棒的電功率  P=I²R′=

∵P∝t        ∴Q=

  （3）解法二

       t時刻導體棒的電功率         P=I²R′

由于I恒定，                R′=v₀rt∝t

因此，                      =I²=I²

Q=t=

  （4）撤去外力后，設任意時刻t導體棒的坐標為x，速度為v，取得短時間Δt或很短距離Δx

        解法一

        在t～t+Δt時間內，由動量定理得

        BlIΔt=mΔv

        ∑（lvΔt）=∑mΔv

        ΔS=mv₀

掃過面積  ΔS=    （x₀=v₀t₀）

得

x=

或       設滑行距離為d

則       ΔS=d

即       d²+2v₀t₀d-2ΔS=0

解之     d= -v₀t₀+         （負值已舍去）

得x=v₀t₀+d=

    =

解法二

在x～x+Δx，由動能定理得

FΔx=mv²-m（v-Δv）²=mvΔv（忽略高階小量）

得∑Δs=∑mΔv

ΔS=mv₀

以下解法同解法一

解法三（1）

由牛頓第二定律得    F=ma=m

                 得  Ft=mv

以下解法同解法一

解法三（2）

由牛頓第二定律得    F=ma=m=m

得    Fx=mvv

以下解法同解法二