Question

如圖所示，在直角坐標系xOy第一象限內有垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度為B，M、N分別是坐標軸上的兩點，已知OM=a，ON=

3

a，紙面內的虛線PQ與y軸相距

3 +2

2

a．一質量為m、電量為+q的粒子（重力不計）從M點垂直磁場射入并從N點離開．
（1）如果粒子的速度與MN成θ（θ＜

π

2

）角，求粒子的速度大小；
（2）如果粒子在磁場中運動沒有通過虛線PQ，求粒子運動時間最長時的速度大小．

Answer 1

分析：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛侖茲力提供向心力．畫出粒子運動軌跡圖，結合幾何知識求解
（2）粒子運動的軌跡剛好與虛線PQ相切并最終通過N點時，偏轉圓心角最大，此時運動時間最長．畫出軌跡圖，根據幾何知識列式，可求解

解答：解：（1）粒子的速度與MN成θ（θ＜

π

2

）角分兩種情況，分別作出兩種情況下粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡，如圖：


上圖中設圓心為O′，半徑為r，
由牛頓第二定律得：qvB=

mv2

r

解得r=

mv

qB

              
根據幾何知識可得，rcos（

π

2

-θ）=

MN

2

=a  
聯立上式可得v=

qBa

msinθ

       
下圖中：根據幾何知道得：rcos（θ-

π

2

）=

MN

2

=a
代入可得：v=

qBa

msinθ

綜上可得，粒子的速度大小v=

qBa

msinθ

（2）粒子運動的軌跡剛好與虛線PQ相切并最終通過N點時的運動時間最長． 
設此時粒子的速度方向與y軸正向成α角，粒子運動的半徑為r′

根據幾何知識可得r′sin（

π

2

-α）+r′=

3 +2

2

a    
r′cos（

π

6

-α）=

MN

2

=a
解得α=

π

6

，r′=a                
則粒子的運動速度v=

qBa

m

       
答：（1）粒子的速度為

qBa

msinθ

（2）粒子運動時間最長時的速度為

qBa

m

點評：本題考查粒子在磁場中的運動，洛倫茲力提供向心力，關鍵是畫出軌跡圖，利用幾何關系列式求解．考查學生處理問題的靈活以及解決實際問題的能力．