Question

20．如圖所示，一根一端封閉的玻璃管，長度l=96cm，開口豎直向上，內有一段長度h=20cm的水銀柱．當溫度為27℃時，被封閉氣體的長度H=60cm．溫度至少升到多高時，水銀柱才能從管中全部溢出？（大氣壓p₀=76cmHg）

Answer 1

分析 開始溫度升高時，氣體壓強不變，作等壓變化．在水銀不斷外溢過程中，氣體不再是等壓變化，當水銀柱上升至管口時，溫度再升高，水銀就會開始溢出，這時的氣體壓強隨水銀的溢出而減小，氣體的體積在不斷增大，溫度不需要繼續升高．由理想氣體狀態方程列出液柱長度與溫度的關系式，討論溫度的最值．

解答 解：開始溫度升高時，氣體壓強不變，氣體體積膨脹，水銀柱上升．當水銀柱上升至管口時，溫度再升高，水銀就會開始溢出，這時的氣體壓強隨水銀的溢出而減小，氣體的體積在不斷增大，溫度不需要繼續升高，設該溫度為t₂，剩余的水銀柱的高度為x，玻璃管的橫截面積為S．
氣體的初始狀態為：${p}_{1}^{\;}={p}_{0}^{\;}+h$          ${V}_{1}^{\;}=aS$             ${T}_{1}^{\;}=300K$
氣體的末狀態為：${p}_{2}^{\;}={p}_{0}^{\;}+x$             ${V}_{2}^{\;}=（96-x）S$       ${T}_{2}^{\;}=273+{t}_{2}^{\;}$
根據理想氣體狀態方程有：$\frac{{p}_{1}^{\;}{V}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{p}_{2}^{\;}{V}_{2}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}$，即：$\frac{（76+20）×60S}{273+27}=\frac{（76+x）（96-x）S}{273+{t}_{2}^{\;}}$
要使剩余氣體全部溢出的溫度${t}_{2}^{\;}$最高，則（76+x）（96-x）必為最大，
又因為76+x+96-x=182為常數，所以當76+x=96-x，即x=10cm時，（76+x）（96-x）有最大值
解得${t}_{2}^{\;}=112℃$時，水銀全部溢出．
答：溫度至少升到112℃時，水銀柱才能從管中全部溢出

點評 解決本題的關鍵要正確分析氣體的狀態變化過程，明確水銀不斷外溢過程中，氣體不再是等壓變化，溫度隨體積增大按“拋物線”規律變化，由氣態方程列式求解最值