Question

如圖所示，軌道ABCD的AB段為一半徑R=0.2m的光滑1/4圓形軌道，BC段為高為h=5m的豎直軌道，CD段為水平軌道．一小球由A點從靜止開始下滑，離開B點做平拋運動（g取10m/s²），求：
（1）小球到達B點時速度的大小；
（2）小球離開B點后，在CD軌道上的落地點到C的水平距離；
（3）如果在BCD軌道上放置一個傾角θ=45°的斜面（如圖中虛線所示），那么小球離開B點后能否落到斜面上？如果能，求它第一次落在斜面上的位置．

Answer 1

分析：（1）A到B的過程中，只有重力做功，機械能守恒，根據機械能守恒求出小球到達B點的速度大小．
（2）根據高度求出平拋運動的時間，結合速度和時間求出水平距離．
（3）結合斜面底邊的長度與水平距離比較確定小球能否落在斜面上，若能落在斜面上，結合豎直位移和水平位移的關系求出運動的時間，從而得出水平位移，根據幾何關系確定小球落點的位置．

解答：解：（1）小球從A點運動到B點的過程機械能守恒，即

1

2

mv_B²=mgR
v_B=

2gR

=

2×10×0.2

m/s=2m/s．
（2）設小球離開B點做平拋運動的時間為t₁，落地點到C點距離為s
由h=

1

2

gt₁² 得：
t₁=

2h g

=

2×5 10

s=1s．
s=v_Bt₁=2×1 m=2 m
（3）如圖，斜面BEC的傾角θ=45°，CE長d=h=5m
因為d＞s，所以小球離開B點后能落在斜面上
假設小球第一次落在斜面上F點，BF長為L，小球從B點到F點的時間為t₂
Lcosθ=v_Bt₂ ①
Lsinθ=

1

2

gt₂² ②
聯立①、②兩式得
t₂=0.4s
L=

vBt

cosθ

=

2×0.4

2 2

m=0.8

2

=1.13m．
答：（1）小球到達B點時速度的大小為2m/s．
（2）小球離開B點后，在CD軌道上的落地點到C的水平距離為2m．
（3）能，它第一次落在斜面上的位置距離B點1.13m．

點評：本題考查了機械能守恒定律和平拋運動規律的綜合，關于小球落在斜面上，平拋運動的豎直位移和水平位移的比值是一定值．