Question

19．如圖所示，水平地面上的一輛小車在水平向右的拉力作用下，以速率v₀向右做勻速直線運動，車內底面上緊靠左端面處有一光滑的小球，車的質量是小球質量的2倍，小球到車右端面的距離為L，車所受路面的摩擦阻力大小等于車對水平面壓力的0.3倍．某時刻撤去水平拉力，經一段時間小球與車的右端面相撞，小球與車碰撞時間極短且碰撞后不再分離，已知重力加速度g=10m/s²．撤去拉力后，求：
（1）小車運動時的加速度大小；
（2）再經多長時間小球與車右端面相撞；
（3）小車向右運動的總路程．

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律可以求出小車的加速度；
（2）應用勻變速直線運動的位移公式可以求出運動時間；
（3）應用動量守恒定律求出碰撞后的速度，然后應用勻變速直線運動的運動規律求出位移，再求出總路程．

解答 解：（1）設小球的質量為m，則車的質量為2m，所受路面阻力：f=0.3×3mg=9m．
根據牛頓第二定律：車與球相撞前，車的加速度大小${a_1}=\frac{f}{2m}=4.5m/{s^2}$
車與球相撞后，車的加速度大�。�${a_2}=\frac{f}{3m}=3m/{s^2}$
（2）①若小球與車相撞時車還未停下，設相撞經歷時間為t₁，則
車的位移：${x_1}={v_0}{t_1}-\frac{1}{2}{a_1}t_1^2$，
小球的位移：x₂=v₀t₁又 x₂=L+x₁
由以上各式解得：${t_1}=\frac{2}{3}\sqrt{L}$
②若小球與車相撞時車已停下，設相撞經歷時間為t₂，則車的位移為：${x'_1}=\frac{v_0^2}{{2{a_1}}}$，小球的位移為：x'₂=v₀t₂又 x'₂=L+x'₁
由以上各式解得：${t_2}=\frac{L}{v_0}+\frac{{v_0^{\;}}}{9}$；
（3）①若小球與車相撞時車還未停下，則相撞前車的位移為：${x_1}={v_0}{t_1}-\frac{1}{2}{a_1}t_1^2=\frac{{2{v_0}}}{3}\sqrt{L}-L$，
相撞時車的速度：${v_1}={v_0}-{a_1}{t_1}={v_0}-3\sqrt{L}$，
相撞后共同速度為v，系統動量守恒，以碰撞前小車的速度方向為正方向，根據動量守恒定律得：2mv₁+mv₀=3mv，
解得：$v={v_0}-2\sqrt{L}$；
相撞后共同滑行位移：$x=\frac{v^2}{{2{a_2}}}=\frac{{{{（{v_0}-2\sqrt{L}）}^2}}}{6}$，
小車向右運動的總路程：${x_車}={x_1}+x=\frac{v_0^2-2L}{6}$；
②若小球與車相撞時車已停下，則相撞前車的位移為：${x'_1}=\frac{v_0^2}{{2{a_1}}}=\frac{v_0^2}{9}$
相撞后共同速度為v'，以小球的初速度方向為正方向，根據動量守恒定律得：mv₀=3mv'，
解得：$v'=\frac{v_0}{3}$，
車相撞后位移：$x'=\frac{{{{v'}^2}}}{{2{a_2}}}=\frac{v_0^2}{54}$，
小車向右運動的總路程：${x'_車}={x'_1}+x'=\frac{7v_0^2}{54}$；
答：（1）小車運動時的加速度大小為4.5m/s²、3m/s²；
（2）再經過時間：$\frac{2}{3}$$\sqrt{L}$或$\frac{L}{{v}_{0}}$+$\frac{{v}_{0}}{9}$小球與車右端面相撞；
（3）小車向右運動的總路程為$\frac{{v}_{0}^{2}-2L}{6}$或$\frac{7{v}_{0}^{2}}{54}$．

點評 本題考查了求加速度、運動時間與路程問題，分析清楚物體的運動過程是解題的關鍵，應用牛頓第二定律、運動學公式與動量守恒定律可以解題；解題時注意討論，否則會漏解．