Question

如圖所示，直角坐標系位于豎直平面內，在水平的x軸下方存在勻強磁場和勻強電場，磁場的方向垂直xOy平面向外，電場線方向平行于y軸．一質量為m．電荷量為q的帶正電的小球，從y軸上的A點以水平速度v₀向右拋出，與x軸成45°角經x軸上M點進入電場和磁場，恰能做勻速圓周運動，從坐標系原點第一次離開電場和磁場．不計空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）電場強度E的大小和方向；
（2）磁感應強度的大小；
（3）求小球從A運動到O的總時間．

Answer 1

分析：（1）小球在電場和磁場的復合場中恰能做勻速圓周運動，電場力與重力必須平衡，列式可求解電場強度E的大小，判斷出E的方向．
（2）小球從A運動到M做平拋運動，根據平拋運動的規律求出小球進入復合場時的速度和OM．小球在復合場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力．由幾何知識求出軌跡半徑，根據牛頓第二定律和向心力公式求解磁感應強度的大小．
（3）根據小球在電場中做類平拋運動，結合運動學公式，可求出運動的時間；再由在磁場中做勻速圓周運動，結合圓心角及周期公式，即可求解總時間．

解答：解：（1）小球在電場和磁場的復合場中恰能做勻速圓周運動，所受的電場力與重力必須平衡，則有：
  qE=mg
解得：E=

mg

q

；
由于小球帶正電，故電場方向豎直向上．
（2）小球從A運動到M做平拋運動，根據平拋運動的規律得：
在M點有 v_y=v₀tan45°，v_y=gt，OM=v₀t
聯立解得：OM=

v 2 0

g

則小球做勻速圓周運動的速度 v=

2

v₀．
設小球做勻速圓周運動的半徑為r，由幾何關系得：
  2rsin45°=OM
得，r=

2 v 2 0

2g

根據洛倫茲力提供向心力，得：
   qvB=m

v2

r

解得：B=

2mg

qv0

；
（3）小球在電場中做類平拋運動，將運動分解成豎直方向與水平方向，則有運動時間為t₁=

v⊥

g

=

v0

g

；
而小球在磁場中做勻速圓周運動，運動的時間為t₂=

3

4

T=

3

4

×

mv

Bq

=

3

4

πv0

g

；
因此小球從A運動到O點的時間為t=t₁+t₂=

v0

g

(1+

3π

4

)；
答：（1）電場強度E的大小為

mg

q

，方向豎直向上；（2）磁感應強度的大小為

2mg

qv0

；（3）求小球從A運動到O的總時間

v0

g

(1+

3π

4

)．

點評：本題要掌握平拋運動的處理方法，粒子在磁場中做勻速圓周運動，能正確的畫出運動軌跡，并根據幾何關系確定各量之間的關系．