Question

一玩具“火箭”由質量為m_l和m₂的上、下兩部分和壓在中間的一根短而硬（即勁度系數很大）的輕質彈簧組成．起初，彈簧被壓緊后鎖定，具有的彈性勢能為E₀，通過遙控器可在瞬間對彈簧解除鎖定，使彈簧迅速恢復原長．現使該“火箭”位于一個深水池面的上方（可認為貼近水面），釋放同時解除鎖定．于是，“火箭”的上部分豎直升空，下部分豎直鉆入水中．設火箭本身的長度與它所能上升的高度及鉆入水中的深度相比，可以忽略，但體積不可忽略．試求．
（1）“火箭”上部分所能達到的最大高度（相對于水面）：
（2）若上部分到達最高點時，下部分剛好觸及水池底部，那么，此過程中，“火箭”下部分克服水的浮力做了多少功？（不計水的粘滯阻力）

Answer 1

分析：（1）解除鎖定時，火箭和彈簧組成的系統動量守恒、機械能守恒，根據兩大守恒定律列式求出彈簧剛伸長至原長的時刻，火箭上部分的速度的大小，再對火箭上部分，根據機械能守恒定律或運動學公式求最大高度H₁；
（2）由運動學公式求出上部分到達最高點所用的時間，運用平均速度求出水池的深度，根據功的計算公式求解“火箭”下部分克服水的浮力做的功．

解答：解：（1）“火箭”整體（含彈簧）在彈簧解除鎖定的瞬間，彈簧彈力遠大于箭體重力，故動量守恒：
    m₁v₁-m₂v₂=0   ①
同時機械能守恒：

1

2

m1

v

2 1

+

1

2

m2

v

2 2

=E₀  ②
∴v₁=

2m2E0 m1(m1+m2)

  ③
 v₂=

2m1E0 m2(m1+m2)

  ④
∴“火箭”上部分所能達到的最大高度為：H₁=

v 2 1

2g

=

m2E0

m1g(m1+m2)

 ⑤
（2）“火箭”上升的時間為：t=

v1

g

  ⑥
水池深度為：H₂=

v2t

2

   ⑦
“火箭”下部分克服水的浮力共做功：
  W_F=m₂gH₂+

1

2

m2

v

2 2

⑧
聯立以上各式解得：W_F=E₀    ⑨
答：
（1）“火箭”上部分所能達到的最大高度為

m2E0

m1g(m1+m2)

；
（2）若上部分到達最高點時，下部分剛好觸及水池底部，那么，此過程中，“火箭”下部分克服水的浮力做的功為E₀．

點評：本題要抓住解鎖過程，系統的動量守恒和機械能守恒，按程序法進行分析，加以討論分析，即可正確解答．